Petit théorème de Fermat
dans Arithmétique
Salut
J'ai un passage de la fin de la démonstration du théorème de Fermat qui me gène (pour tout $a\in\mathbb Z$ et $p$ premier, $a^p\equiv a \pmod p$.)
J'ai déjà montré que c'est vrai pour tout $r\in\{0,\ldots,p-1\}$. Maintenant, en faisant la division euclidienne de $a$ par $p$, $r$ étant le reste : $a\equiv r \pmod p$ donc $a^p\equiv r^p \pmod p$. Là j'ai envie de dire que $r^p\equiv r \pmod p$ mais je n'arrive pas à le montrer ($r^p-r\in p\mathbb Z$). Une fois ça fait, ce sera fini.
J'ai un passage de la fin de la démonstration du théorème de Fermat qui me gène (pour tout $a\in\mathbb Z$ et $p$ premier, $a^p\equiv a \pmod p$.)
J'ai déjà montré que c'est vrai pour tout $r\in\{0,\ldots,p-1\}$. Maintenant, en faisant la division euclidienne de $a$ par $p$, $r$ étant le reste : $a\equiv r \pmod p$ donc $a^p\equiv r^p \pmod p$. Là j'ai envie de dire que $r^p\equiv r \pmod p$ mais je n'arrive pas à le montrer ($r^p-r\in p\mathbb Z$). Une fois ça fait, ce sera fini.
Réponses
-
Tu as montré que pour tout entier $r\in\{0,...,r-1\}$ $r^p-r$ est divisible par $p$?
-
Oulala, il suffit d'utiliser ce que j'ai montré juste avant. Merci
-
Si $a\equiv b\mod{n}$ alors $a^m-a\equiv b^m-b\mod{n}$ $a,b$ des entiers et $m,n>0$ des entiers
-
Je me souviens des temps anciens où, pour $a\neq 0$,
$x\mapsto ax$ était une permutation des inversibles modulo $p$.
On en concluait que
$$
\prod_{\text{$x$ inversible}} x = \prod_{\text{$x$ inversible}} ax = a^{p-1}\prod_{\text{$x$ inversible}} x
$$
d'où ...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres