Petit théorème de Fermat

Salut
J'ai un passage de la fin de la démonstration du théorème de Fermat qui me gène (pour tout $a\in\mathbb Z$ et $p$ premier, $a^p\equiv a \pmod p$.)

J'ai déjà montré que c'est vrai pour tout $r\in\{0,\ldots,p-1\}$. Maintenant, en faisant la division euclidienne de $a$ par $p$, $r$ étant le reste : $a\equiv r \pmod p$ donc $a^p\equiv r^p \pmod p$. Là j'ai envie de dire que $r^p\equiv r \pmod p$ mais je n'arrive pas à le montrer ($r^p-r\in p\mathbb Z$). Une fois ça fait, ce sera fini.