Somme de chiffres

mpsi_quatre · September 2017

Bonjour

On a montré que tout entier naturel est congrus à la somme de ses chiffres modulo $9$. On pose $A$ la somme des chiffres de $4444^{4444}$, $B$ la somme des chiffres de $A$ et $C$ la somme des chiffres de $B$. D'après la propriété, on a $C\equiv 4444^{4444} [9]$ puis j'arrive à m'en sortir pour montrer que $C\equiv 7 [9]$. Mais ensuite, comment savoir la valeur de $C$ sans le modulo (pour l'instant ça peut être $907$ par exemple, mais aussi $7$ ou $16$...) ?

Balix · September 2017

Je pense qu'une fois que tu est passé au modulo, tu as une perte d'information (tu ne garde que le reste de la DE par 9, et tu perds le quotient), tu ne peux pas retrouver l'intégralité de l'information de départ , à savoir la valeur de C.

Guego · September 2017

Si un entier $N$ s'écrit avec $d$ chiffres et a une somme des chiffres de $s$, alors $s\leqslant 9d$ et $N\geqslant 10^{d-1}$. On en déduit que $s\leqslant 9\left( 1+ \dfrac{\ln(N)}{\ln(10)}\right)$. Ça permet de majorer $A$, puis $B$, puis $C$, et de voir que $C\leqslant 10$.

mpsi_quatre · September 2017

ça marche, merci !

Balix · September 2017

Je trouve C plus petit que 24 moi avec ton indication.

Guego · September 2017

J'ai parlé trop vite, effectivement, mais ça marche quand même. On trouve $A\leqslant 145905$, puis $B\leqslant 55$. Or, parmi tous les entiers entre $1$ et $55$, la plus grande somme des chiffres possible est $13$. Donc $C\leqslant 13$.

Guego · September 2017

Vérification : avec un peu de programmation, je trouve (enfin l'ordi trouve) $A=72601$, $B=16$ et $C=7$.

nicolas.patrois · September 2017

>>> n=4444**4444
>>> while n>9:
...   n=sum(map(int,str(n)))
...   print(n)
... 
72601
16
7

Somme de chiffres

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