Division euclidienne
Bonsoir, en fait je ne sais pas trop comment comprendre ce genre de question??
Réponses
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Salut,
Tu connais les congruences ? -
Tu n'as pas fini tes calculs.
Il manque les cas où le reste est 1, le reste est 2.
PS:
Pour le cas déjà traité r=0, pas la peine de développer. Un nombre qui est le produit de 3 par un nombre entier est un multiple de 3.
PS2:
Comme on te l'a déjà demandé, si tu connais le calcul des congruences c'est immédiat. -
Tu peux toujours faire la division euclidienne d'un nombre par $3$, il n'y a aucune raison de supposer que le nombre en question soit un diviseur de $3$...
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Je trouve très étrange un texte qui part de « si $n$ est un diviseur de $3$ » et qui se termine par « donc $n$ est un diviseur de $3$ ».
Par ailleurs, il y a une confusion manifeste entre « diviseur » et « multiple » (ce qui est à certain égards comme confondre le père et le fils, le petit et le grand, etc.). -
Ça semble le début du cours d'arithmétique de TS spé maths, donc mikess n'a probablement pas encore les congruences (dans deux semaines, si :-D)
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Bonjour,
Tu peux continuer sur ton idée : $n=3q+r$ avec $r=0,1,2.$ Quand tu calcules $n(n^2+2) = (3q+r)(3^2q^2+6qr+r^2+2)$ tu réarranges les termes de la somme pour montrer qu'ils sont multiples de $3$ : $n(n^2+2) =3 \times q(3^2q^2+6qr+r^2+2)+r(3^2q^2+6qr+r^2+2) = 3 \times q(3^2q^2+6qr+r^2+2)+3 \times r(3q^2+2qr)+r(r^2+2) $, il reste le terme en $r(r^2+2)$, qui vaut $0$ en $r=0$, $3$ en $r=1$, et $6$ en $r=2$ : tous les termes sont multiples de $3.$
Une autre solution est la récurrence. C'est très facile dans ce cas. -
Merci yves
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Je ne comprends pas yves comment tu arrives au résultat r(r^2+2) ?
Il ne manque pas quelque chose avant ?? -
Bonjour,
Il te faut chercher plus d'une seconde. Dans l'expression $\displaystyle n(n^2+2) = (3q+r)(3^2q^2+6qr+r^2+2) = (3q+r)(3(3q^2+2qr)+r^2+2)=(3q+r)(3 A+r^2+2) $, ne vois-tu pas $r(r^2+2)$ ? Le reste est multiple de $3$ comme le message ci-dessus montre, donc tous les termes sont multiples de $3$ : c'est le résultat demandé, non ? -
Cela signifie qu'il ne reste que ce terme à étudier , tous les autres termes étant trivialement divisibles par 3.
Edit: Bon, Yves est plus rapide... -
Ah oui tres bien
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Peux-tu citer cette dernière propriété utilisée par Yves @mikess19731973?
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C'est un theoreme:division euclidienne
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On peut simplifier le calcul en remarquant que:
Si $n=3k+2$ alors il existe $k'$ tel que $n=3k'-1$
et réciproquement.
En effet,
$n=3k+2=3k+3-1=3(k+1)-1$
Réciproquement,
Si $n=3k'-1$ alors $n=3(k'-1)+3-1=3(k'-1)+2$ -
On peut encore simplifier en remarquant que $n^2+2 = (n-1)(n+1)+3$. Le truc est de prouver que $3$ divise $(n-1)n(n+1)$. Bon, bah parmi trois entiers consécutifs il y en a $1$ divisible par $3$. Mais bon, sans congruences on comprend pas grand chose :-D
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@mikess19731973,
On n'a pas besoin d'évoquer la division euclidienne pour citer cette propriété élémentaire, je dis bien évoquer parce que si tu me réponds "c'est la division euclidienne" à chaque fois que tu veux justifier une propriété de divisibilité , on te répondra que c'est juste mais...trop vague. -
Si p est multiple de 3, c'est évident. Si p est de la forme 3q+ 1 ou 3q-1 , alors p2 est de la forme 3r+1 ,donc p2+2 est de la forme 3r+3=3s.Conclusion : p(p2+2) est multiple de 3 pour tout n
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