Tu peux toujours faire la division euclidienne d'un nombre par $3$, il n'y a aucune raison de supposer que le nombre en question soit un diviseur de $3$...
Je trouve très étrange un texte qui part de « si $n$ est un diviseur de $3$ » et qui se termine par « donc $n$ est un diviseur de $3$ ».
Par ailleurs, il y a une confusion manifeste entre « diviseur » et « multiple » (ce qui est à certain égards comme confondre le père et le fils, le petit et le grand, etc.).
Si cela pouvait constituer une bonne définition de "texte inutile" en mathématique, le texte précédent se révélerait alors objectivement utile. Paradoxe?
Tu peux continuer sur ton idée : $n=3q+r$ avec $r=0,1,2.$ Quand tu calcules $n(n^2+2) = (3q+r)(3^2q^2+6qr+r^2+2)$ tu réarranges les termes de la somme pour montrer qu'ils sont multiples de $3$ : $n(n^2+2) =3 \times q(3^2q^2+6qr+r^2+2)+r(3^2q^2+6qr+r^2+2) = 3 \times q(3^2q^2+6qr+r^2+2)+3 \times r(3q^2+2qr)+r(r^2+2) $, il reste le terme en $r(r^2+2)$, qui vaut $0$ en $r=0$, $3$ en $r=1$, et $6$ en $r=2$ : tous les termes sont multiples de $3.$
Une autre solution est la récurrence. C'est très facile dans ce cas.
Il te faut chercher plus d'une seconde. Dans l'expression $\displaystyle n(n^2+2) = (3q+r)(3^2q^2+6qr+r^2+2) = (3q+r)(3(3q^2+2qr)+r^2+2)=(3q+r)(3 A+r^2+2) $, ne vois-tu pas $r(r^2+2)$ ? Le reste est multiple de $3$ comme le message ci-dessus montre, donc tous les termes sont multiples de $3$ : c'est le résultat demandé, non ?
On peut encore simplifier en remarquant que $n^2+2 = (n-1)(n+1)+3$. Le truc est de prouver que $3$ divise $(n-1)n(n+1)$. Bon, bah parmi trois entiers consécutifs il y en a $1$ divisible par $3$. Mais bon, sans congruences on comprend pas grand chose :-D
On n'a pas besoin d'évoquer la division euclidienne pour citer cette propriété élémentaire, je dis bien évoquer parce que si tu me réponds "c'est la division euclidienne" à chaque fois que tu veux justifier une propriété de divisibilité , on te répondra que c'est juste mais...trop vague.
Si p est multiple de 3, c'est évident. Si p est de la forme 3q+ 1 ou 3q-1 , alors p2 est de la forme 3r+1 ,donc p2+2 est de la forme 3r+3=3s.Conclusion : p(p2+2) est multiple de 3 pour tout n
Réponses
Tu connais les congruences ?
Il manque les cas où le reste est 1, le reste est 2.
PS:
Pour le cas déjà traité r=0, pas la peine de développer. Un nombre qui est le produit de 3 par un nombre entier est un multiple de 3.
PS2:
Comme on te l'a déjà demandé, si tu connais le calcul des congruences c'est immédiat.
Par ailleurs, il y a une confusion manifeste entre « diviseur » et « multiple » (ce qui est à certain égards comme confondre le père et le fils, le petit et le grand, etc.).
Si cela pouvait constituer une bonne définition de "texte inutile" en mathématique, le texte précédent se révélerait alors objectivement utile. Paradoxe?
Tu peux continuer sur ton idée : $n=3q+r$ avec $r=0,1,2.$ Quand tu calcules $n(n^2+2) = (3q+r)(3^2q^2+6qr+r^2+2)$ tu réarranges les termes de la somme pour montrer qu'ils sont multiples de $3$ : $n(n^2+2) =3 \times q(3^2q^2+6qr+r^2+2)+r(3^2q^2+6qr+r^2+2) = 3 \times q(3^2q^2+6qr+r^2+2)+3 \times r(3q^2+2qr)+r(r^2+2) $, il reste le terme en $r(r^2+2)$, qui vaut $0$ en $r=0$, $3$ en $r=1$, et $6$ en $r=2$ : tous les termes sont multiples de $3.$
Une autre solution est la récurrence. C'est très facile dans ce cas.
Il ne manque pas quelque chose avant ??
Il te faut chercher plus d'une seconde. Dans l'expression $\displaystyle n(n^2+2) = (3q+r)(3^2q^2+6qr+r^2+2) = (3q+r)(3(3q^2+2qr)+r^2+2)=(3q+r)(3 A+r^2+2) $, ne vois-tu pas $r(r^2+2)$ ? Le reste est multiple de $3$ comme le message ci-dessus montre, donc tous les termes sont multiples de $3$ : c'est le résultat demandé, non ?
Edit: Bon, Yves est plus rapide...
Si $n=3k+2$ alors il existe $k'$ tel que $n=3k'-1$
et réciproquement.
En effet,
$n=3k+2=3k+3-1=3(k+1)-1$
Réciproquement,
Si $n=3k'-1$ alors $n=3(k'-1)+3-1=3(k'-1)+2$
On n'a pas besoin d'évoquer la division euclidienne pour citer cette propriété élémentaire, je dis bien évoquer parce que si tu me réponds "c'est la division euclidienne" à chaque fois que tu veux justifier une propriété de divisibilité , on te répondra que c'est juste mais...trop vague.