ppcm et produit

mpsi_quatre · September 2017

Bonjour

Soient $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb Z$. Je connais la propriété :
(les $a_i$ sont premiers entre eux deux à deux) $\implies$ ($ppcm(a_1,\ldots,a_n)=|a_1\ldots a_n|$)

Mais on aurait a priori aussi la réciproque. Pourquoi ?

gerard0 · September 2017

Bonjour.

En considérant la décomposition en facteurs premiers des $a_i$, n'est-ce pas simple à justifier ?
Tu peux aussi traiter le cas n=2 puis en déduire par récurrence le cas général.

Cordialement.

NB : Ces techniques sont assez élémentaires.

mpsi_quatre · September 2017

Ok pour $n=2$ mais j'ai du mal avec l'hérédité. On suppose la propriété vraie au rang $n$. Soit $a_1,\ldots, a_n,a_{n+1}\in \mathbb Z$ tel que $ppcm(a_1,\ldots,a_n,a_{n+1})=|a_1\ldots a_n a_{n+1}|$.

Soit $1\leq i,j\leq n+1$ tel que $i\neq j$. Il faut montrer que $pgcd(a_i,a_j)=1$.

mpsi_quatre · September 2017

C'est bon.

mpsi_quatre · September 2017

Je me méprends. En fait je n'ai pas réussi à établir l'hérédité :-(

Fin de partie · September 2017

On peut aussi essayer de démontrer que:

Soient $a_1,...,a_n$ des entiers naturels
S'il existe $i,j$ distincts dans $\{1,...,n\}$ tels que $\text{PGCD(a_i,a_j)}\neq 1$ alors $\text{PPCM}(a_1,...,a_n) \neq a_1\times...\times a_n$

Démonstration:
Si $\text{PGCD}(a_i,a_j)=\lambda>1$ alors il existe $b_i,b_j$ entiers naturels non nuls tels que:
$a_i=\lambda b_i$ et $a_j=\lambda b_j$

Il est clair que $\displaystyle \dfrac{a_1\times ... \times a_n}{a_i\times a_j}\times \lambda \times b_i\times b_j$ est un entier et est un multiple de chacun des nombres $a_1,...,a_n$ et donc le PPCM de ces nombres est inférieur ou égal à cette quantité.
Or, cette quantité est strictement plus petite que $a_1\times ... \times a_n$.

En espérant qu'il n'y a pas d'erreur.

gerard0 · September 2017

Finalement,

la preuve par récurrence est assez pénible (il faut déduire de l'énoncé que $a_{n+1}$ est premier avec $a_1a_2...a_n$ (*), ce qui me semble à peu près du même ordre de preuve que l'exercice lui-même.
Avec les facteurs premiers, une fois prouvé que a_i et a_j ont des facteurs premiers différentds, le reste n'est que de l'écriture.

Cordialement.

(*) et pas que pgcd(a_ia_j)=1, qui n'est qu'une traduction immédiate de l'énoncé

GaBuZoMeu · September 2017

On suppose que $a_1\cdots a_na_{n+1}$ est ppcm de $a_1,\ldots,a_{n+1}$. Soit $d$ un diviseur commun de $a_1\cdots a_n$ et $a_{n+1}$. Il existe donc des entiers $a$ et $b$ tels que $a_1\cdots a_n=da$ et $a_{n+1}=db$. Alors $dab$ est un multiple commun de $a_1\cdots a_n$ et $a_{n+1}$, donc $a_1\cdots a_na_{n+1}=d^2ab$ divise $dab$, d'où $d$ divise $1$. On a montré que $a_1\cdots a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.

gerard0 · September 2017

Joli !

Mais j'espérais que Mpsi_quatre nous donne quelques lignes de mathématiques personnelles, pas seulement "j'y arrive" ou "je n'y arrive pas".

Cordialement.