Itération de (phi+sigma)/2

Soit $U(n) = \varphi(n)+\sigma(n)$. Note que $\sigma(p^k)-\varphi(p^k) = p^{k-1}+\sigma(p^{k-1})$ donc si $p \nmid n$
$$U(p^k n) = \sigma(p^k) \sigma(n)+\varphi(p^k)\varphi(n)=\varphi(p^k) U(n) +(\sigma(p^k)-\varphi(p^k)) \sigma(n)$$ $$=
(p^k U(n)-p^{k-1}\sigma(n)-p^{k-1} \varphi(n))+(p^{k-1} \sigma(n)+\sigma(p^{k-1}) \sigma(n))=p^k U(n)+\sigma(p^{k-1}) \sigma(n)-p^{k-1} \varphi(n)> p^k U(n)$$
Donc $U(n) > n U(1) \ge 2n$ et $T(n) > n$.

Sentez-vous ce parfum de fermeture, au moins de suppression ?
L'agressivité est en forme ces temps-ci, sur le forum.

Peut-être Sylvain essaie-t-il intensément depuis hier et n'est-il pas encore parvenu à la conclusion de l'inanité de ses efforts.

Trois remarques :

1. Pour $n \geqslant 2$, en utilisant l'IAG, $T(n) \geqslant \sqrt{\varphi(n) \sigma(n)} > \zeta(2)^{-1/2} n > \frac{3}{4} n$ ;

On peut améliorer en procédant comme suit : si $\Psi(n) :=n \prod_{p \mid n} \left( 1 + p^{-1} \right)$ est le totient de Dedekind, alors
$$2 T(n) = \varphi(n) + \sigma(n) \geqslant \varphi(n) + \Psi(n) = n \left( \prod_{p \mid n} \left( 1 - p^{-1} \right) + \prod_{p \mid n} \left( 1 + p^{-1} \right) \right) \geqslant 2n$$
comme on peut s'en rendre compte en développant les deux produits. Ça rejoint le calcul effectué par Reuns (mais en plus simple).

2. Pour $n \geqslant 2$, en utilisant une inégalité due à Nicoll (1966), $T(n) \leqslant n 2^{\omega(n)-1}$ ;

3. Pour $n > 2$, en utilisant la convolution $\sigma = \tau \star \varphi$ et le fait que $\varphi(n)$ est pair dès que $n > 2$, il vient
$$\varphi(n) + \sigma(n) \equiv \begin{cases} \tau(n) + \tau(n/2) \pmod 2, & \textrm{si } \ 2 \mid n \\ \tau(n) \pmod 2 , & \textrm{sinon}. \end{cases} $$
On retrouve (une partie) de la remarque de Breyer ci-dessus : par exemple, si $n$ est un carré parfait, alors $\tau(n)$ est impair de sorte que $T(n)$ ne peut être entier si $n$ est pair de la forme $n=(2m)^2$ ou si $n$ est impair.