Somme de deux carrés
dans Arithmétique
Ecrire comme somme de deux carrés d'entiers non nuls
(1) $2018^{2017}$
(2) $2017^{2018}$
(1) $2018^{2017}$
(2) $2017^{2018}$
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Réponses
$$2017^{2018}=(792\times 2017^{1008})^2+(1855\times 2017^{1008})^2.$$
J'ai deux questions (dont je n'ai pas la réponse):
1) Et avec deux carrés premiers entre eux ?
2) Peut on dénombrer le nombre de solutions ?
Cordialement,
Rescassol
D'après Hardy & Wright, XVI. 16. 9, ça me semble correct puisque 2017 est un nombre premier et que 2018 est le double d'un nombre premier.
On trouve dans la littérature cette fonction $r(n)$ qui est le nombre de couples $(x,y) \in \mathbb Z^2$ tels que $x^2+y^2=n$. C'est la suite http://oeis.org/A004018.
Il serait plus intéressant de dénombrer ces $(x,y)$ tels que : $0 \leq x\leq y$, qui sont vraiment les couples distincts. C'est la suite http://oeis.org/A0000161
Bonne sieste.
Fr. Ch.
C'est pas bien mais je t'emprunte ton fil. Je te le rendrais, promis, juré. Suite au papier de Lenstra et Stevenhagen sur la loi de réciprocité d'Artin et les nombres premiers de Mersenne in http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/artin.pdf, tout le monde a envie d'écrire un nombre premier de Mersenne $M_e = 2^e - 1$ où $e \equiv 1 \mod 3$, sous la forme :
$$
M_e = x^2 + 7y^2
$$
N'est ce pas ?
Un petit truc de wizard (la function XY) et c'est parti mon kiki :
Que remarque-t-on ? Enfin pas moi mais Franz Lemmermeyer. Que $x$, dans $M_e = x^2 + 7y^2$, est divisible par 8. Et que H.W. Lenstra et P. Stevenhagen disent qu'il faut invoquer la réciprocité d'Artin pour le montrer. Ah, quand les grands se mettent à faire joujou.
Y'a pas un joli projet à faire pour des petit(e)s avec cela ? Mais moi, je suis retraité.
Peut-être que la modération va effacer ce post car hors-sujet (j'en conviens). Précipitez vous pour voir les jolies photos d'Artin.