1 ou -1 ?
dans Arithmétique
Bonsoir,
Dans l'ouvrage "Introduction à la théorie des nombres" de Hardy et Wright (Vuibert 2007), je lis ceci à la section 7.7 "Le résidu de $(\frac{1}{2}(p-1))!$" :
"Dans ce cas (c'est-à-dire si $p$ premier $=4n+1$), $(\frac{1}{2}(p-1))!$ est congru à l'une ou l'autre des racines de $x^{2}\equiv 1$ $(mod$ $p)$."
J'aurais plutôt cru que $(\frac{1}{2}(p-1))!$ était congru à l'une ou l'autre des racines de $x^{2}\equiv -1$ $(mod$ $p)$.
Merci de vos avis.
Dans l'ouvrage "Introduction à la théorie des nombres" de Hardy et Wright (Vuibert 2007), je lis ceci à la section 7.7 "Le résidu de $(\frac{1}{2}(p-1))!$" :
"Dans ce cas (c'est-à-dire si $p$ premier $=4n+1$), $(\frac{1}{2}(p-1))!$ est congru à l'une ou l'autre des racines de $x^{2}\equiv 1$ $(mod$ $p)$."
J'aurais plutôt cru que $(\frac{1}{2}(p-1))!$ était congru à l'une ou l'autre des racines de $x^{2}\equiv -1$ $(mod$ $p)$.
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Réponses
En effet, quoi ? 1 ou -1 ? :-)
\[(p-1)!=1\cdot(p-1)\times2\cdot(p-2)\times\cdots\times\frac{p-1}{2}\cdot\Bigl(p-\frac{p-1}2\Bigr)=\left(1\times2\times\cdots\times\frac{p-1}{2}\right)^2\times(-1)^{(p-1)/2}.\]
Autrement dit, s'il en existe, le théorème de Wilson donne une racine carrée explicite de $-1$, à savoir $\bigl(\frac{p-1}2\bigr)!^2$.