Racine primitive

J'ai essayé avec $k=2$ pour $p=$7, 11, 13, 17, 47 sans succès. Peut-être faut-il augmenter la valeur de $k$ ? Je suis rouillé en Maple, mais la procédure à écrire n'est pas bien longue pour automatiser les calculs.

On tient le bon bout...

Regarde le lemme 14 ici : http://www.witno.com/philadelphia/notes/won5.pdf

[Activation du lien. AD]

Mieux:

Pour qu'une racine primitive modulo $p$ , premier impair, (et donc modulo $p^k$) soit aussi racine primitive modulo $2p^k$, il faut et il suffit qu'elle soit impaire (à condition de préciser qu'ici on appelle "racine primitive modulo $m$" un entier naturel inférieur à $m$ dont la classe engendre le groupe des inversibles de l'anneau $Z/mZ$).

Sauf erreur

Cordialement
Paul

Edit 1
Edit 2: la partie barrée

Hello,

J'avais fait des tests il y a une dizaine d'années : dans la plage $3 \le p < 10^8$, si je note $g$ la plus petite racine primitive modulo $p$ (plus petite une fois remontée dans l'intervalle $[0..p-1]$), alors $g^{p-1} \ne 1 \bmod p^2$ SAUF pour $p=p_0=40487$ (pour lequel $g=5$).

Donc dans cette plage, pour $p \ne p_0$, $g$ est une racine primitive modulo n'importe quel $p^k$, $k \ge 1$.

Je crois même avoir supprimé la clause ``plus petite'' i.e., toujours dans la plage, si $g$ est une racine primitive modulo $p$ quelconque, alors $g^{p-1} \ne 1 \bmod p^2$ i.e. $g$ est une racine primitive modulo n'importe quel $p^k$. A l'exception bien sûr de $p = p_0$. Mais pas trop sûr : il faudrait que je vérifie (ce qui consiste à retrouver mes billes !).

Je crois également me souvenir que cela avait été étudié ``quelque part'' i.e. il y avait des articles mais trou moir.

Merci pour ce document fort intéressant et concis.

J'ai compris ce que tu voulais dire

Gilles,

J'ai des soucis avec ton lien : mon moteur de recherche me dit qu'il ne peut pas établir une connexion sécurisée au serveur web.math.princeton.edu et du coup, refuse d'en faire plus. Tu vas me dire que c'est mon problème (c'est pas faux). J'imagine que c'est de la plus haute importance de prendre connaissance du contenu de wieferich42.pdf

Es tu capable d'y faire quelque chose ? Merci.

@flip flop Merci

@gilles
Wieferich de base 5 quand tu me tiens (un nouveau jeu ?). Autant s'occuper des 6 nombres premiers de Wieferich de base 5 qui figurent en bas de la page 1 de la note de Katz. En principe, le code (magma) suivant DEVRAIT être clair :

> P := [20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801] ;
> [Modexp(5, ExactQuotient(p-1,2), p) : p in P] ;
[ 1, 40486, 1, 1645333506, 6692367336, 1 ]
> subP := P[[2,4,5]] ;
> [Modexp(5, p-1, p^2) : p in subP] ;            
[ 1, 1, 1 ]

L'est-il ?

Est ce que tu te rends bien compte que ce papier fort intéressant de Katz (pas daté mais on voit une référence bibliographique qui date de 2099) pourrait m'éloigner du droit chemin que je me suis fixé ?

:-D