Somme de deux carrés
dans Arithmétique
Bonjour,
Sur le site Mathprepa
il y a l'exercice suivant :
« Montrer que 2014 ne peut pas s’écrire comme la somme de deux carrés. »
La correction commence par :
« Supposons qu’on puisse écrire 2014 = n² + m², avec n et m dans N
Alors en particulier 2014 $\equiv $ n² + m² [8] »
Je ne comprends pas d'où sort ce modulo 8, d'autant plus que 2014 n'est pas divisible par 8.
Merci d'avance.
Sur le site Mathprepa
il y a l'exercice suivant :
« Montrer que 2014 ne peut pas s’écrire comme la somme de deux carrés. »
La correction commence par :
« Supposons qu’on puisse écrire 2014 = n² + m², avec n et m dans N
Alors en particulier 2014 $\equiv $ n² + m² [8] »
Je ne comprends pas d'où sort ce modulo 8, d'autant plus que 2014 n'est pas divisible par 8.
Merci d'avance.
Réponses
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Je n'ai pas plus réfléchi que ça, mais as-tu dressé la liste des éléments de $\{ n^2 \ {\rm mod }\ 8 \ \vert \ n \in \mathbb{N}\}$ ?
-
C'est une méthode assez courante pour montrer que certaines équations en entiers n'ont pas de solution : on suppose qu'il en existe une et on réduit « modulo un entier bien choisi » pour aboutir à une contradiction. Ici, $2014$ est congru à $6$ modulo $8$ ($2016$ est visiblement divisible par $8$) et $6$ n'est pas une somme de deux carrés dans $\Z/8\Z$.
Vingt-et-un autres exemples. -
Merci.
Je crois comprendre ce que signifie 2014 $\equiv n^{2}+m^{2} \mod{8}$.
Ça veut dire que 2014 = 2014 ou 2014 - 8, 2014 -16 ... 2014 + 8 etc.
C'est donc forcément vrai. Par contre, je ne comprends pas la signification de « réduire modulo ».
J'imagine que cela se fait en arithmétique et que je le verrai plus tard (je suis en L1) ? -
Oui, les congruences, c'est-à-dire le travail modulo un entier, sont une notion standard que l'on voit un jour. Il y en a un peu en spé. math. en TS.
Version light : on dit que $n\equiv n'\ [ b]$ (lire « $n$ est congru à $n'$ modulo $b$ ») s'il existe $k$ tel que $n-n'=kb$.
Évidence : si $n=n'$ alors $n\equiv n'\;[ b]$ pour tout $b$.
Évidence : un entier $n$ est congru au reste $r$ de sa division par $b$ (car on a $n=r+qb$, où $q$ est le quotient). Mieux : $n$ est congru à $m$ modulo $b$ si et seulement si $n$ et $m$ ont le même reste dans la division euclidienne par $b$ (exercice). Intérêt : il y a seulement $b$ restes possibles, infiniment moins que d'entiers.
Cherchons par exemple tous les restes possibles des nombres de la forme $n^2+m^2$ dans la division par $8$. Si on note $r$ et $s$ les restes des divisions de $n$ et $m$ par $8$, on a, pour $k$ et $\ell$ convenables :
\[n^2+m^2=(r+8k)^2+(s+8\ell)^2=r^2+s^2+8(2kr+8k^2+2\ell s+8\ell^2),\]
de sorte que le reste cherché ne dépend que de $r$ et $s$. On trouve :
\[\begin{array}{c|cccccccc}
r&0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline
r^2&0&1&4&9&16&25&36&49\\\hline
\hbox{reste}&0&1&4&1&0&1&4&1\end{array}\]
Les restes que l'on cherche sont obtenus en ajoutant deux de ces nombres : $0$, $1$, $2$, $4$, $5$. Et on ne peut pas tomber sur $6$. -
Pourtant, $4+2=6$. ;-)
Édit : Mathcoss a en fait calculé toutes les sommes possibles de deux carrés modulo $8$.
Sorry. -
Merci pour tes explications très claires et complètes.
J'ai compris le principe.
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