3 divise a²+b²

Donik · October 2017

Bonjour,

J'ai une petite question d'arithmétique sur laquelle je tourne en rond...

Mon but est de démontrer qu'il n'y a pas de quadruplet $(x,y,z,u)$ tq $ x,y,z,u \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ avec la relation suivante :
$x²+y²=3(z²+u²)$

Je pense avoir une démonstration qui tient la route (je peux vous la fournir si besoin), il y a juste une petite étape qui me gène :
$3| (a²+b²) \implies 3| a, 3| b$

Auriez-vous une piste qui me permette de démontrer cette implication ?

En vous remerciant d'avance,
D.

Cidrolin · October 2017

Modulo $3$, $a^2$ vaut $0$ ou $1$, de même pour $b^2$ donc ...

Chaurien · October 2017

Précise ton énoncé pour exclure (0,0,0,0).

Donik · October 2017

...donc la seule possibilité est $a=0$ $mod(3)$ et $b=0$ $mod(3)$, sinon on a une contradiction avec $a²+b²=0$ $mod(3)$
C'est fou que je n'ai pas pensé au modulo... parfois je me désespère (:P)

Merci beaucoup Cidrolin !

A bientôt,
D.

Donik · October 2017

C'est fait Chaurien, merci

3 divise a²+b²

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