Racines en commum

Dans ma feuille de TD, j'ai l'exercice suivant :
Effectuer la division euclidienne de A par B et indiquer si A et B ont une racine en commun.

A= $X^{4}-3X+7$ et B=$X^{2}+1$
Là je trouve ça facile car $X^{2}+1$ a pour racines i et -i et il est facile de vérifier que A n'a pas ces valeurs comme racines.
A=$-2X^{5}+X^{4}-X^{3}+2$ et B=$X^{3}+X +6$
Je trouve quotient = $-2X^{2}+X+1$ et reste = $11X^{2}-7X-4$
A a pour racine évidente 1, j'ai factorisé A par (x-1).
ce qui donne A= $-(X-1)(2X^{4}+X^{3}+2X^{2}+2X+2)$
Ce résultat n'a pas de racine évidente, divisé par B, le reste (11X +4) n'a pas de propriété remarquable du style constante.

Dernière question :
A =$X^{7}-X+2$ B= $-X^{6}+X^{4} -X^{2} +7$
-1 est racine évidente de A mais pas de B.

Auriez-vous des idées pour pouvoir affirmer qu'ils ont ou pas des racines communes ?
Par ailleurs, comment obtient-on la factorisation dans$\mathbb{C}$ avec XCas ?
J'ai beau taper

complex_mode:=1  

factor(-2*x^5+x^4-x^3+2)

ne me factorise que par (x-1).

Merci de votre aide.