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Pair et Impair

Envoyé par Toborockeur 
Pair et Impair
l’an passé
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Bonjour,

Soit $x,y\in\Z$ tels que $y^{3}=x^{2}+1$
Montrer que $x$ est pair et que $y$ est impair.

Quelqu'un aurait il des idées? J'ai essayé par l'absurde mais je n'arrive pas à la conclusion.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Toborockeur.
Re: Pair et Impair
l’an passé
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peut être regarder modulo $4$.
Re: Pair et Impair
l’an passé
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Merci ça marche très bien.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Toborockeur.
Re: Pair et Impair
l’an passé
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Bonjour

On peut aussi remarquer en réfléchissant une minute que $y^3-1$ est toujours pair.

Edit. Désolée, ceci est une grosse bêtise envoyée sans y faire attention!



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Magnolia.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Suppose $x$ impair, pose $x=2k+1$, et regarde la conséquence.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Et ensuite ? Te demande-t-on la solution de l'équation dans $\mathbb Z$ ?
Re: Pair et Impair
l’an passé
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Merci, j'ai modifié mon dernier message, j'ai trouvé en utilisant les congruences, mais je vais essayer les autres méthodes ;)
Re: Pair et Impair
l’an passé
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Ensuite on me demande de montrer que dans $\Z(i)$ , $x-i$ et $x+i$ sont premiers entre eux. Je vais y réfléchir. On me demandera ensuite de trouver les solutions.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Toborockeur.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Tu travailles dans l'anneau des entiers de Gauss $\mathbf G=\Z[$$i]$$=\Z+\Z i$, qui est euclidien, donc principal, donc factoriel.
Tu peux prouver que si $k \in \Z$ alors $2k+i$ et $2k-i$ sont premiers entre eux dans $\mathbf G$. Même procédé de démonstration que dans $\Z$.
Tu peux aussi trouver $u \in \mathbf G$ et $v \in \mathbf G$ tels que : $u(2k+i)+v(2k-i)=1$, même si ce n'est pas indispensable.
Bon courage.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: Pair et Impair
l’an passé
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Magnolia : $2^3-1$ n'est pas pair. Et ce n'est pas le seul contre-exemple.
Re: Pair et Impair
l’an passé
@Toborockeur :
Pour démontrer que $x+i$ et $x-i$ sont premiers entre eux, tu peux aussi utiliser l'algorithme d'Euclide qui est facile à mettre en place ici. Tu pourras même ensuite trouver $u$ et $v$ (cf le dernier post de Chaurien) en remontant cet algorithme comme d'habitude.

Pour le reste, on peut conclure en montrant que $x+i$ est un cube dans $\Z[i ]$, ce qui laisse peu de possibilités pour $x$...
Re: Pair et Impair
l’an passé
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Pour la première partie, mod 14 n'est pas mal non plus,
on y voit que $x$ et $y$ peuvent être pair ou impair.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par soland.


Re: Pair et Impair
l’an passé
Pour en revenir au problème posé, soit $k \in \Z$, soit $z\in \mathbf G=\Z[i ]$, tel que dans $\mathbf G$ l'élément $z$ divise $2k+i$ et $2k-i$.
Alors $z$ divise $(2k+i)-(2k-i)$. Etc.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Sauf que $2$ a pas mal de diviseurs non inversibles.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Il ne m'est pas inconnu que $2$ n'est pas irréductible dans $\mathbf G$, merci. Je n'ai pas dit qu'avec ma suggestion tout est terminé. J'ai seulement voulu inciter Toborockeur à persévérer. J'ai cru comprendre que la règle ici n'est pas de traiter les questions à la place des questionneurs, mais de les aider à progresser par eux-mêmes dans la solution de ces questions.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Je ne pense pas avoir enfreint cette règle.
J'ai juste signalé que l'algorithme d'Euclide était très efficace pour traiter la dernière question de Toborockeur.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Eh bien nous sommes d'accord, tout est pour le mieux
Re: Pair et Impair
l’an passé
avatar
Merci pour votre aide, le problème est (enfin) résolu!
Re: Pair et Impair
l’an passé
De mon côté, je trouve comme seule solution le couple $(x=0,y=1)$.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Par curiosité j'aimerais bien voir les solutions.
Re: Pair et Impair
l’an passé
On a $(k+i)(2k-i)-k(2k+i)=1$ donc $2k+i$ et $2k-i$ sont premiers entre eux et les facteurs premiers (éventuels) de l'un ne sont pas facteurs premiers de l'autre.

Si $k=0$, $2k+i=i$ est un cube.
Sinon, en examinant les décompositions en facteurs premiers de $y^3$ et de $(2k+i)(2k-i)$, on montre sans peine qu'il existe $\alpha$ inversible et $\beta$ dans $\Z[i ]$ tels que $2k+i=\alpha\beta^3$.
Mais tout inversible de $\Z[i ]$ étant un cube, il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $2k+i=(a+ib)^3$.
Un rapide calcul montre que $a=0$ et $b=-1$ ce qui implique que $x=2k=0$ et $y=1$, solution qui convient.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gai requin.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Bravo pour cette solution. Il était essentiel de noter que les unités de l'anneau sont des cubes.
Ce problème a été posé en 2010 à l'ISFA.
[www.bankexam.fr]

Bonne soirée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: Pair et Impair
l’an passé
C'est un bon exemple d'utilisation des anneaux de nombres algébriques pour résoudre une équation diophantienne. Ces équations $x^2+k=y^3$, $k \in \mathbb Z $, sont appelées semble-t-il équations de Bachet, ou de Mordell, car ce dernier leur a consacré d'importants travaux. L'équation étudiée ici est un peu décevante car elle n'a que la solution triviale. Les deux plus intéressantes en restant élémentaires sont $x^2+2=y^3$ et $x^2+4=y^3$, toutes deux présentées par Fermat soi-même, et que l'on résout de même.

Anecdote personnelle. Il y a des années, je m'étais intéressé à cette équation $x^2+2=y^3$ juste pour la beauté de la chose. J'étais à l'époque professeur certifié, et je considérais qu'il y avait deux sortes de mathématiques : les mathématiques académiques ennuyeuses et les mathématiques ludiques plaisantes comme ces équations diophantiennes. Et voici que je passe l'agrégation et qu'à l'écrit je tombe sur « exemples d'anneaux », et je case $x^2+2=y^3$. J'ai compris que ces deux mathématiques n'en faisaient qu'une.

Bonne journée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Je crois que flipflop s'est amusé à compter les points de $y^3=x^2+1$ sur les corps $\mathbb F_{7^r}$ [ici].
Un peu plus de solutions que dans $\Z$ ! smiling smiley
Re: Pair et Impair
l’an passé
avatar
Hello Gai requin grinning smiley

Oui j'ai voulu faire mumuse avec les bidules modulaires ! Par contre, ce qui m'embête c'est que l'anneau qui intervient c'est $\Z[ j]$ et non $\Z[ i]$ confused smiley
Re: Pair et Impair
l’an passé
Certainement parce que raisonner sur $\Z$, ce n'est pas pareil que raisonner sur un corps fini.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Et dans $\Q$ ?
Re: Pair et Impair
l’an passé
On s'attaque à la courbe projective $y^3=x^2z+z^3$ ?
Re: Pair et Impair
l’an passé
Je ne suis pas très calé sur le maniement de ces courbes. J'ai commencé à chercher ce problème classiquement, mais je n'ai pas abouti.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Je viens de m'apercevoir que c'est fait dans : Cohen, Henri, Number Theory, Volume I, Tools and Diophantine Equation, gtm239, Springer 2007, pp. 387-388. Ce n'est pas immédiat. Cohen dit que cette preuve est essentiellement due à Euler, dont on constate une fois de plus l'immense génie. Mais on voit aussi l'immense intérêt de l’œuvre de Henri Cohen, mathématicien français d'aujourd'hui.
Bonne journée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Donc une étude élémentaire qui se passe de Mordell-Weil et autre théorème de Mazur.
J'aimerais bien voir ça...
Re: Pair et Impair
l’an passé
@ gai requin
Voici. Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris. Il me semble que tout amateur de Théorie des Nombres devrait garder sous le coude les ouvrages de Henri Cohen.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - H. Cohen, 387-389.pdf (83.4 KB)
Re: Pair et Impair
l’an passé
Merci !

C'est en effet difficile à résoudre ex nihilo.

Et finalement, l'équation $y^3=x^2-1$ dont la résolution dans $\Z$ utilise les techniques vues dans ce fil, est plus sympathique même si elle n'a pas de solution rationnelle non entière.

Quant à Henri Cohen, je sais qu'il calcule des corps de classes comme si c'était du petit lait !
Re: Pair et Impair
l’an passé
Moi je trouve que la résolution dans $\Z$ de $y^3=x^2-1$ est plus difficile que celle, dont nous venons de parler, de $y^3=x^2+1$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: Pair et Impair
l’an passé
Est-ce que tu t'y connais en courbes elliptiques ?
Si non, j'ai l'impression que c'est un sujet qui pourrait te passionner...
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