pgcd unitaire
dans Arithmétique
que signifie
pgcd unitaire de deux entiers relatifs ?
merci
pgcd unitaire de deux entiers relatifs ?
merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il est facile de vérifier qu'un entier $n \geqslant 2$ a exactement $2^{\omega(n)}$ diviseurs unitaires, où $\omega(n)$ est le nombre de facteurs premiers distincts de $n$.
Cette notion permet de définir le produit de convolution unitaire de deux fonctions arithmétiques par la formule
$$\left( f \odot g \right) (n) := \sum_{d \parallel n} f(d) g(n/d).$$
Ce produit confère à l'ensemble des fonctions arithmétique, avec la somme, une structure d'anneau non intègre, contrairement à ce qui se passe avec l'habituel produit de convolution de Dirichlet. Par ailleurs, il permet de définir les analogues unitaires de toutes les fonctions arithmétiques habituelles. Par exemple, si $k \in \mathbb{N}$
$$\sigma_k^*(n) := \sum_{d \parallel n} d^k$$
est l'analogue unitaire de la somme des puissances $k$-èmes des diviseurs de $n$. Ces analogues unitaires sont notées avec une étoile en exposant.