Démonstration pair / impair = pair

qwerty31 · October 2017

Bonjour à tous,

J'ai trouvé sur Wikipédia cet article dans lequel il est dit :
$$\frac{pair}{impair}=pair$$
Si ce nombre pair est divisible par ce nombre impair.
(cette division donne un nombre non entier lorsque ces deux nonbres ne sont pas divisibles).
J'ai cherché sur Internet une démonstration de cette propriété, sans succès. J'ai également réfléchi à comment la démontrer avec mes connaissances (Terminale S spé maths) sans réussir non plus.
Je suis allé jusque là :
On suppose un nombre pair $2k$ et un nombre impair $2k'+1$ tel que $2k'+1\mid 2k$.
$$\frac{2k}{2k'+1}=?$$
Et je ne sais pas comment aller plus loin.

Si quelqu'un a une démonstration ou des pistes/idées pour essayer de démontrer cette propriété...?

Merci d'avance !

Fin de partie · October 2017

Si $\frac{p}{q}=a$ alors $p=aq$ et réciproquement si $q$ est non nul.

PS:
Le produit de deux nombres impairs est impair.

gerard0 · October 2017

Bonjour.

Il suffit de revenir à la définition des fractions : si $\frac a b =c$ où a, b et c sont des entiers, alors a=bc et on sait la parité d'un produit en fonction de ses facteurs.

Cordialement.

Conique · October 2017

Bonjour,

Essaie de traduire ton hypothèse $2k'+1\; |\; 2k $ par une égalité.

GaBuZoMeu · October 2017

Je vois dans le programme de Terminale S, spécialité mathématique, sous la rubrique "Arithmétique", après "Entiers premiers entre eux" et "Théorème de Bézout", la mention "Théorème de Gauss". Que dit ce théorème de Gauss ?

Félix · October 2017

Si le dividende était impair le produit des facteurs serait impair et non pair, puisque produit de deux impairs.
[ajout : pas assez rapide ! Et pourquoi le titre est-il en contradiction avec la teneur du message ?]

qwerty31 · October 2017

Bonjour,

Merci à tous pour vos réponses.

J'ai modifié le titre dans lequel il y avait une erreur, désolé.

Pour le théorème de Gauss, je suis actuellement en Terminale et je n'ai donc pas encore vu le programme en intégralité ; je vais aller voir.

En effet, avec la définition d'une fraction la démonstration devient évidente.

GaBuZoMeu · October 2017

Ce théorème dit : si l'entier $a$ divise le produit d'entiers $bc$ et est premier avec $b$, alors il divise $c$. Conséquence : si $2$ divise $bc$ ($bc$ est pair) et est premier avec $b$ ($b$ est impair), alors $2$ divise $c$ ($c$ est pair). C'est la propriété admise par les autres intervenants.

gerard0 · October 2017

Bonjour Gabuzomeu.

Pas besoin de lemme de Gauss pour raisonner "par le pair et l'impair" comme le faisaient les grecs plus de 2000 ans avant Gauss. Ce qui fait que je n'ai pas utilisé ce résultat.

Cordialement.

Fin de partie · October 2017

Faut-il le lemme de Gauss pour savoir que le résultat de la multiplication d'un nombre impair par un nombre impair est impair?

Démonstration:
$(2k+1)(2k'+1)=2\left(k(2k'+1)+k'\right)+1$ est bien un nombre impair.

PS:
Faut-il la démonstration qu'un nombre impair n'est pas un nombre pair?
$2k=2k'+1$ entraine que $2(k-k')=1$ c'est à dire que $2$ divise $1$ ce qui est absurde.

aléa · October 2017

Vous avez déjà remarqué que la fonction constante égale à 1 est paire, tandis que la fonction constante égale à 0 est impaire ?

Ok, je sors...

GaBuZoMeu · October 2017

D'accord, le lemme de Gauss est marteau-pilon ici. Mais impair x impair = impair demande tout de même une petite démonstration.
PS. Ce n'est pas le même degré d'évidence que pair x entier = pair.

samok · October 2017

Bon Gérard et Fil de pull,

laissez moi passer devant Ramon, vous finirez la mission sans moi ensuite.

bonsoir GaBuZoMeu

"pair x entier = pair"
me semble évident, genre $(2\times k)\times n=2\times(k \times n)$ où $k$, $n$ sont des nombres entiers.

Où est le loup ?

S

GaBuZoMeu · October 2017

Samok, moi aussi, pair x entier = pair me semble évident, pour la raison que tu as écrite.
Peut-être as-tu compris de travers ce que j'ai écrit ? Relis avec attention.