Démonstration pair / impair = pair
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
J'ai trouvé sur Wikipédia cet article dans lequel il est dit :
$$\frac{pair}{impair}=pair$$
Si ce nombre pair est divisible par ce nombre impair.
(cette division donne un nombre non entier lorsque ces deux nonbres ne sont pas divisibles).
J'ai cherché sur Internet une démonstration de cette propriété, sans succès. J'ai également réfléchi à comment la démontrer avec mes connaissances (Terminale S spé maths) sans réussir non plus.
Je suis allé jusque là :
On suppose un nombre pair $2k$ et un nombre impair $2k'+1$ tel que $2k'+1\mid 2k$.
$$\frac{2k}{2k'+1}=?$$
Et je ne sais pas comment aller plus loin.
Si quelqu'un a une démonstration ou des pistes/idées pour essayer de démontrer cette propriété...?
Merci d'avance !
J'ai trouvé sur Wikipédia cet article dans lequel il est dit :
$$\frac{pair}{impair}=pair$$
Si ce nombre pair est divisible par ce nombre impair.
(cette division donne un nombre non entier lorsque ces deux nonbres ne sont pas divisibles).
J'ai cherché sur Internet une démonstration de cette propriété, sans succès. J'ai également réfléchi à comment la démontrer avec mes connaissances (Terminale S spé maths) sans réussir non plus.
Je suis allé jusque là :
On suppose un nombre pair $2k$ et un nombre impair $2k'+1$ tel que $2k'+1\mid 2k$.
$$\frac{2k}{2k'+1}=?$$
Et je ne sais pas comment aller plus loin.
Si quelqu'un a une démonstration ou des pistes/idées pour essayer de démontrer cette propriété...?
Merci d'avance !
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Réponses
PS:
Le produit de deux nombres impairs est impair.
Il suffit de revenir à la définition des fractions : si $\frac a b =c$ où a, b et c sont des entiers, alors a=bc et on sait la parité d'un produit en fonction de ses facteurs.
Cordialement.
Essaie de traduire ton hypothèse $2k'+1\; |\; 2k $ par une égalité.
[ajout : pas assez rapide ! Et pourquoi le titre est-il en contradiction avec la teneur du message ?]
Merci à tous pour vos réponses.
J'ai modifié le titre dans lequel il y avait une erreur, désolé.
Pour le théorème de Gauss, je suis actuellement en Terminale et je n'ai donc pas encore vu le programme en intégralité ; je vais aller voir.
En effet, avec la définition d'une fraction la démonstration devient évidente.
Pas besoin de lemme de Gauss pour raisonner "par le pair et l'impair" comme le faisaient les grecs plus de 2000 ans avant Gauss. Ce qui fait que je n'ai pas utilisé ce résultat.
Cordialement.
Démonstration:
$(2k+1)(2k'+1)=2\left(k(2k'+1)+k'\right)+1$ est bien un nombre impair.
PS:
Faut-il la démonstration qu'un nombre impair n'est pas un nombre pair?
$2k=2k'+1$ entraine que $2(k-k')=1$ c'est à dire que $2$ divise $1$ ce qui est absurde.
Ok, je sors...
PS. Ce n'est pas le même degré d'évidence que pair x entier = pair.
laissez moi passer devant Ramon, vous finirez la mission sans moi ensuite.
bonsoir GaBuZoMeu
"pair x entier = pair"
me semble évident, genre $(2\times k)\times n=2\times(k \times n)$ où $k$, $n$ sont des nombres entiers.
Où est le loup ?
S
Peut-être as-tu compris de travers ce que j'ai écrit ? Relis avec attention.
On peut comprendre sans grand effort que notre ami GaBuZoMeu dit que pair x entier = pair est plus évident qu'impair x impair = impair.