Polynômes qui engendrent des nombres premiers

quimavendu@laposte.net · October 2017

Bonjour
En fouillant sur le net, on se rend compte qu'il y a "pas mal" de polynômes du second degré produisant une collection de nombres premiers et tel que leurs discriminants (notons le $\delta$ ) engendrent des nombres presque entiers de la forme $e^{\pi\sqrt{\delta}}$. Je citerai pour exemple le polynôme d'Euler : $x^2+x+41$ et celui de Legendre : $x^2+x+17$
Est-ce aussi simple, ou bien tout ceci n'a de sens que pour certains nombres ?

Poirot · October 2017

J'ai de vagues souvenirs que c'est lié au fait que dans un corps quadratique réel, les petits (en fonction du discriminant) nombres premiers sont inertes.

jean lismonde · October 2017

Bonsoir
il n'existe pas de fonction polynomiale génératrice des nombres premiers.
Les polynômes proposés par Euler ou Legendre n'engendrent qu'une quantité limitée d'entiers premiers.
Cette distribution des nombres premiers reste aléatoire, elle ne relève pas de l'algèbre mais du calcul des probabilités.
Cordialement.

Poirot · October 2017

quimavendu n'a jamais prétendu qu'un tel polynôme fournissait tous les nombres premiers ou même un nombre infini.

flipflop · October 2017

$$\Delta = -163$$ ou $$\Delta = -67$$

quimavendu@laposte.net · October 2017

Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1544290,1544308#msg-1544308
Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Ok autrement dit, ceci fonctionne plutôt bien au départ (pour des valeurs de $\delta$ petites) puis finit rapidement par se casser la gueule.

Félix · October 2017

La distribution des nombres premiers reste aléatoire ?
Ne serait-elle pas au contraire totalement et absolument déterministe ?

reuns · October 2017

@Poirot : Si $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}]$ a un class number de un alors $j(e^{- \pi \sqrt{-d}})= j(e^{2i \pi \frac{1+\sqrt{-d}}{2}})$ le $j$-invariant du tore complexe $\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\mathbb{Z})$ est un entier. En particulier c'est le cas pour $d = 163$ si bien que $N= j(e^{-\pi\sqrt{163}})$ est entier. Et comme $q= e^{-\pi\sqrt{163}}$ est vraiment très petit alors $j(q) = q^{-1}+\mathcal{O}(q)$ est très visible et on obtient $N-e^{\pi\sqrt{163}}=j(e^{-\pi\sqrt{163}})-e^{\pi\sqrt{163}} = \mathcal{O}(e^{-\pi\sqrt{163}})$.

majax · October 2017

Félix écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1544290,1544370#msg-1544370
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Eh oui tout ce qu'on ne comprend pas est aléatoire, comme par exemple les réactions de ma femme. :)o

LEG · October 2017

Bonjour
ces polynômes de degré 2, peuvent êtres analysés autrement, pour se rendre compte que la répartition des nombres premiers reste toujours aussi difficile à déterminée. Mais qu'en principe ils contiennent une infinité de premiers...
Car ils agissent comme une suite "arithmético polynômiale" de raison 1800., donc qui contiendraient une infinité de premiers, ayant la même propriété qu'un suite arithmétique....!

Voici un petit exemple avec celui d'Euler, il en est de même de celui de Legendre. On peut constater une densité moyenne de nombres premiers par Famille;
$x^2 + x + 41$ prend 6 familles sur les 8 familles de nombres premiers $> 5$ en progression arithmétique de raison 30 et de premier terme $P [7 ; 31]$

Dans les 4 familles représentées congrues à 1; 13; 17 et 23 modulo 30 les nombres Premiers sont en noir.

Dans le polynôme $x^2 + x + 17$ les deux familles 1 et 11 modulo 30 sont remplacées par les deux familles 19 et 29 modulo 30
Voici par exemple, un extrait de la famille $19[30]$ issu de ce polynôme.

19 p
1009 p
3799
8389 p
14779 p
22969
32959
44749
58339
73729
90919
109909
130699 p
153289
177679 p
203869 p
231859

La formule reste la même $(x+30k)^2 + (x+30k) + 17$ , donne le deuxième terme 1009 de la suite ci dessus en exemple...etc...etc

Fin de partie · October 2017

Il existe un polynôme à plusieurs variables qui génère tous les nombres premiers.

flipflop · October 2017

Pour l'histoire des nombres premiers. (je m'inspire d'un exercice de Claude, j'espère que je n'ai pas louché sur les inégalités sinon, je vais me faire tirer les oreilles :-D).

Je prend $N=41$ et $P(n) = n^2+n+N$. Et je prend $ 0 \leq n < N-1$ et une décomposition $P(n) = ac$ (avec $a \leq c$) et on va prouver que $a =1$. (ce qui signifie que $P(n)$ est premier).

On considère la forme quadratique $q(x,y) = ax^2+(2n+1)xy+cy^2$, et je note $b=2n+1$, alors cette forme est de discriminant :
$$
b^2-4ac = (2n+1)^2-4ac = 4 ( n^2+n-ac) +1 = -4N+1 = -163
$$
Comme il existe une unique classe de forme quadratique de discriminant $-163$ cette forme est équivalente à la forme $x^2+xy+41y^2$ et elle représente donc $1$ et de même pour la forme $q$ i.e il existe $(x,y) \in \Z$ tel que $q(x,y)= 1$.

Maintenant, on a :
$$
4 a q(x,y) = (2ax+by)^2+(4ac-b^2)y^2
$$
et comme $q(x,y)=1$, on a : $4a \geq (4ac-b^2)y^2=163y^2$.

D'autre part, comme $n < N-1$, alors $P(n) < P(N-1) = (N-1)^2+(N-1)+N = N^2$, et $ac < N^2$ et donc $a < N$ d'où $4a < 4N = 164$. On a :
$$
163 y^2 \leq 4a < 164
$$

Ceci implique que $y=0$. Et on a : $q(x,0)=1$ i.e $ax^2 = 1$ d'où $a = 1$.

Chaurien · October 2017

@ FdP
Oui, on en a parlé plusieurs fois, mais ce n'est pas tout à fait le même but.
http://www.math.umd.edu/~laskow/713/Spring17/Diorepofprimes.pdf

Poirot · October 2017

@reuns : oui je connais ça, je parlais surtout de l'histoire des polynômes produisant des nombres premiers !

noix de totos · October 2017

Pour compléter les propos ci-dessus de Reuns (et autres), il est connu que, si $q$ est un nombre premier et si $P_q:=X^2+X+q$, alors $P_q(n)$ est un nombre premier pour tout $n \in \{0,\dotsc,q-2\}$ si et seulement si $q \in \{2,3,5,11,17,41\}$.

Ce résultat provient, comme l'ont dit Reuns et Poirot, de la classification des corps quadratiques imaginaires de nombre de classes égal à $1$.

Référence.

P. Ribenboim, Euler's famous prime generating polynomial and the class number of imaginary quadratic fields, Ens. Math. 34 (1988), 23--42.

claude quitté · October 2017

Coucou Flip Flop
Vu. Un petit coup de $j$-invariant ? Aux pages 249-250 de Cox (tu connais son livre ??), on voit qu'il y a une fonction elliptico-modulaire de nom $\gamma_2$ telle que :
$$
j(\tau) = \gamma_2(\tau)^3 \qquad \forall\ \tau \in \mathbb H
$$
Et c'est elle qui prend la valeur entière en le réseau $\mathcal O_K$ où $K = \Q(\sqrt {-163})$. A fortiori, $j$ prend la valeur entière et c'est même le cube d'un entier. Attention, ce réseau n'est pas $\Z[\sqrt {-163}]$ mais $\Z[\tau] = \Z \oplus \Z\tau$ avec :
$$
\tau = {-1 + \sqrt{-163} \over 2}
$$
Allons-y. Et pour te faire plaisir, j'ai fait calculer le $j$-invariant de 3 manières : en le point $\tau$ du demi-plan de Poincaré, en le réseau encodé par $[2, -1 + \sqrt{-163}]$ et enfin en la forme neutre $x^2 + xy + 41y^2$ de $\mathcal Q(-163)$

> C<i> := ComplexField() ;
> 
> gamma2Value := -640320 ;         
> gamma2Value^3 ;
-262537412640768000
> D := -163 ;
> tau := (-1 + Sqrt(D)) / 2 ;
> jInvariant(tau) ;
-262537412640768000.000000000000 + 4.45180892243035464168415464033E-14*i
>
> jInvariant([2, -1 + Sqrt(D)]) ;
-262537412640768000.000000000000 + 4.45180892243035464168415464033E-14*i
> 
> q0 := BinaryQuadraticForms(D)!1 ;
> q0 ;
<1,1,41>
> jInvariant(q0) ;
-262537412640768000.000000000000 + 4.45180892243035464168415464033E-14*i
> 
> pi := Pi(RealField()) ;
> pi ;  
3.14159265358979323846264338328
> Exp(pi*Sqrt(Abs(D))) ;    // pas de 2
262537412640768743.999999999998

Chaurien · October 2017

@ noix de totos
Ah, ce cher Ribenboim et ses amis les nombres... As-tu de ses nouvelles ? Peut-on avoir cet article en ligne ?
Bonne journée.
Fr. Ch.

claude quitté · October 2017

Un article plus récent Prime-Producing Quadratics (1997) de R.A. Mollin in http://people.ucalgary.ca/~ramollin/PPQ.pdf qui mentionne celui de P. Ribenboim (1988).

noix de totos · October 2017

Claude Q. a été plus rapide que moi...Mais, à titre purement personnel, je préfère les ouvrages de Ribenboim que ceux de Mollin (pour s'en convaincre, on pourra comparer les livres : https://www.amazon.fr/Classical-Theory-Algebraic-Numbers-Ribenboim/dp/0387950702/ref=sr_1_sc_1?ie=UTF8&qid=1507982471&sr=8-1-spell&keywords=algebraic+number+theory,+ribeboim et https://www.amazon.fr/Algebraic-Number-Theory-Second-Richard-ebook/dp/B008J2A61E/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1507982497&sr=8-1&keywords=algebraic+number+theory,+Mollin).

Ceci étant, pour revenir à l'invariant modulaire $j$, il faut savoir qu'en pratique il est très difficile de calculer ses valeurs, de sorte que l'on utilise assez peu souvent le résultat ci-dessus pour déterminer le corps de classes d'Hilbert d'un corps quadratique.

Math Coss · October 2017

Cet exposé de Daniel Perrin est fascinant.

df · October 2017

Bonjour,

J'ai lu que cette formule (R. Yéléhada) donnait tous les nombres premiers mais très lentement et avec répétitions:

\begin{equation}
t(n) = 2 + n \left \lbrack \frac{1}{1 + \sum_{p=2}^{n+1}\left \lbrack \frac{n+2}{p} - \left \lbrack \frac{n+1}{p}\right \rbrack \right \rbrack} \right \rbrack \quad n \geq 0
\end{equation}

Les crochets désignant la partie entière...

En 1995, une variante améliorée utilisant le théorème de Wilson a été publiée. Elle donne tous les nombres premiers à la suite et sans répétitions:

\begin{equation}
p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n} \left \lbrack \left \lbrack \frac{n}{1 + \sum_{j=2}^{m}\left \lbrack \frac{(j-1)! + 1}{j} - \left \lbrack \frac{(j-1)!}{j}\right \rbrack \right \rbrack} \right \rbrack ^{\frac{1}{n}} \right \rbrack
\end{equation}
(J. Minac et C. Willans)

Par contre d'un point de vue pratique c'est une horreur ! On dépasse difficilement $p_6$.

L'ensemble des nombres premiers généré par 47 symboles !

Concernant les polynômes, une conjecture dit que pour un nombre $A$ aussi grand que l'on veut, on trouve toujours un polynôme de la forme $n^2 + n + B$ qui donne des nombres premiers pour $n = 0, ...,A$.
Pour la valeur $A = 41$, le nombre $B$ correspondant doit être plus grand que $10^{18}$.
...

Poirot · October 2017

@Math Coss : merci pour ce document que je ne connaissais pas.

LEG · October 2017

Bonjour
Il est quand même curieux de constater que ces Polynôme générant des nombres premiers, ne diffèrent pas beaucoup les uns des autres ....Dans l'ouvrage référencé par Math Coss, j'ai utilisé l'entier premier $P = 27941$ afin de regarder la densité de premiers qu'il génère ..et une comparaison avec $P = 941$.

Il paraît évident que ces Polynômes doivent prendre une infinité de premiers lorsque que x tend vers l'infini..Sinon on pourrait penser, qu'a partir d'une certaine limite, les suites arithmétiques de raison 30 et de premier terme $P[7 ; 31]$; qui sont parcourues par ces polynômes , contiendraient l'infinité des nombres premiers alors qu'elles ne seraient plus en progression arithmétique de raison 30, si on enlève de ces suites les valeurs de ces polynômes...:-S

Voila un exemple illustré dans le fichier joint, et pour ceux qui s'intéressent à ces probabilités...

donnet · November 2017

Bonjour ,

j'avais écrit il y a six mois dans Shtam un petit mémo sur la divisibilité des trinômes d'EULER X²+X+Q
Q étant un entier.
Celà peut servir à la discussion,ces trinômes étant dotés de propriétés étonnantes

LMG44 · December 2022

Bonjour,
existe-t-il une liste exhaustive des polynômes d'ordre [de degré] 2 engendrant plus d’une 30-aine de nombres premiers consécutifs distincts ? Je n’en trouve pas des masses et cela me surprend à une époque où la puissance informatique devrait faire sauter les gonds.

Polynômes qui engendrent des nombres premiers

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Bonjour!

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