Polynômes qui engendrent des nombres premiers
Bonjour
En fouillant sur le net, on se rend compte qu'il y a "pas mal" de polynômes du second degré produisant une collection de nombres premiers et tel que leurs discriminants (notons le $\delta$ ) engendrent des nombres presque entiers de la forme $e^{\pi\sqrt{\delta}}$. Je citerai pour exemple le polynôme d'Euler : $x^2+x+41$ et celui de Legendre : $x^2+x+17$
Est-ce aussi simple, ou bien tout ceci n'a de sens que pour certains nombres ?
En fouillant sur le net, on se rend compte qu'il y a "pas mal" de polynômes du second degré produisant une collection de nombres premiers et tel que leurs discriminants (notons le $\delta$ ) engendrent des nombres presque entiers de la forme $e^{\pi\sqrt{\delta}}$. Je citerai pour exemple le polynôme d'Euler : $x^2+x+41$ et celui de Legendre : $x^2+x+17$
Est-ce aussi simple, ou bien tout ceci n'a de sens que pour certains nombres ?
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Réponses
il n'existe pas de fonction polynomiale génératrice des nombres premiers.
Les polynômes proposés par Euler ou Legendre n'engendrent qu'une quantité limitée d'entiers premiers.
Cette distribution des nombres premiers reste aléatoire, elle ne relève pas de l'algèbre mais du calcul des probabilités.
Cordialement.
Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Ok autrement dit, ceci fonctionne plutôt bien au départ (pour des valeurs de $\delta$ petites) puis finit rapidement par se casser la gueule.
Ne serait-elle pas au contraire totalement et absolument déterministe ?
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Eh oui tout ce qu'on ne comprend pas est aléatoire, comme par exemple les réactions de ma femme. :)o
ces polynômes de degré 2, peuvent êtres analysés autrement, pour se rendre compte que la répartition des nombres premiers reste toujours aussi difficile à déterminée. Mais qu'en principe ils contiennent une infinité de premiers...
Car ils agissent comme une suite "arithmético polynômiale" de raison 1800., donc qui contiendraient une infinité de premiers, ayant la même propriété qu'un suite arithmétique....!
Voici un petit exemple avec celui d'Euler, il en est de même de celui de Legendre. On peut constater une densité moyenne de nombres premiers par Famille;
$x^2 + x + 41$ prend 6 familles sur les 8 familles de nombres premiers $> 5$ en progression arithmétique de raison 30 et de premier terme $P [7 ; 31]$
Dans les 4 familles représentées congrues à 1; 13; 17 et 23 modulo 30 les nombres Premiers sont en noir.
Dans le polynôme $x^2 + x + 17$ les deux familles 1 et 11 modulo 30 sont remplacées par les deux familles 19 et 29 modulo 30
Voici par exemple, un extrait de la famille $19[30]$ issu de ce polynôme.
19 p
1009 p
3799
8389 p
14779 p
22969
32959
44749
58339
73729
90919
109909
130699 p
153289
177679 p
203869 p
231859
La formule reste la même $(x+30k)^2 + (x+30k) + 17$ , donne le deuxième terme 1009 de la suite ci dessus en exemple...etc...etc
Je prend $N=41$ et $P(n) = n^2+n+N$. Et je prend $ 0 \leq n < N-1$ et une décomposition $P(n) = ac$ (avec $a \leq c$) et on va prouver que $a =1$. (ce qui signifie que $P(n)$ est premier).
On considère la forme quadratique $q(x,y) = ax^2+(2n+1)xy+cy^2$, et je note $b=2n+1$, alors cette forme est de discriminant :
$$
b^2-4ac = (2n+1)^2-4ac = 4 ( n^2+n-ac) +1 = -4N+1 = -163
$$
Comme il existe une unique classe de forme quadratique de discriminant $-163$ cette forme est équivalente à la forme $x^2+xy+41y^2$ et elle représente donc $1$ et de même pour la forme $q$ i.e il existe $(x,y) \in \Z$ tel que $q(x,y)= 1$.
Maintenant, on a :
$$
4 a q(x,y) = (2ax+by)^2+(4ac-b^2)y^2
$$
et comme $q(x,y)=1$, on a : $4a \geq (4ac-b^2)y^2=163y^2$.
D'autre part, comme $n < N-1$, alors $P(n) < P(N-1) = (N-1)^2+(N-1)+N = N^2$, et $ac < N^2$ et donc $a < N$ d'où $4a < 4N = 164$. On a :
$$
163 y^2 \leq 4a < 164
$$
Ceci implique que $y=0$. Et on a : $q(x,0)=1$ i.e $ax^2 = 1$ d'où $a = 1$.
Oui, on en a parlé plusieurs fois, mais ce n'est pas tout à fait le même but.
http://www.math.umd.edu/~laskow/713/Spring17/Diorepofprimes.pdf
Ce résultat provient, comme l'ont dit Reuns et Poirot, de la classification des corps quadratiques imaginaires de nombre de classes égal à $1$.
Référence.
P. Ribenboim, Euler's famous prime generating polynomial and the class number of imaginary quadratic fields, Ens. Math. 34 (1988), 23--42.
Vu. Un petit coup de $j$-invariant ? Aux pages 249-250 de Cox (tu connais son livre ??), on voit qu'il y a une fonction elliptico-modulaire de nom $\gamma_2$ telle que :
$$
j(\tau) = \gamma_2(\tau)^3 \qquad \forall\ \tau \in \mathbb H
$$
Et c'est elle qui prend la valeur entière en le réseau $\mathcal O_K$ où $K = \Q(\sqrt {-163})$. A fortiori, $j$ prend la valeur entière et c'est même le cube d'un entier. Attention, ce réseau n'est pas $\Z[\sqrt {-163}]$ mais $\Z[\tau] = \Z \oplus \Z\tau$ avec :
$$
\tau = {-1 + \sqrt{-163} \over 2}
$$
Allons-y. Et pour te faire plaisir, j'ai fait calculer le $j$-invariant de 3 manières : en le point $\tau$ du demi-plan de Poincaré, en le réseau encodé par $[2, -1 + \sqrt{-163}]$ et enfin en la forme neutre $x^2 + xy + 41y^2$ de $\mathcal Q(-163)$
Ah, ce cher Ribenboim et ses amis les nombres... As-tu de ses nouvelles ? Peut-on avoir cet article en ligne ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Ceci étant, pour revenir à l'invariant modulaire $j$, il faut savoir qu'en pratique il est très difficile de calculer ses valeurs, de sorte que l'on utilise assez peu souvent le résultat ci-dessus pour déterminer le corps de classes d'Hilbert d'un corps quadratique.
J'ai lu que cette formule (R. Yéléhada) donnait tous les nombres premiers mais très lentement et avec répétitions:
\begin{equation}
t(n) = 2 + n \left \lbrack \frac{1}{1 + \sum_{p=2}^{n+1}\left \lbrack \frac{n+2}{p} - \left \lbrack \frac{n+1}{p}\right \rbrack \right \rbrack} \right \rbrack \quad n \geq 0
\end{equation}
Les crochets désignant la partie entière...
En 1995, une variante améliorée utilisant le théorème de Wilson a été publiée. Elle donne tous les nombres premiers à la suite et sans répétitions:
\begin{equation}
p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n} \left \lbrack \left \lbrack \frac{n}{1 + \sum_{j=2}^{m}\left \lbrack \frac{(j-1)! + 1}{j} - \left \lbrack \frac{(j-1)!}{j}\right \rbrack \right \rbrack} \right \rbrack ^{\frac{1}{n}} \right \rbrack
\end{equation}
(J. Minac et C. Willans)
Par contre d'un point de vue pratique c'est une horreur ! On dépasse difficilement $p_6$.
L'ensemble des nombres premiers généré par 47 symboles !
Concernant les polynômes, une conjecture dit que pour un nombre $A$ aussi grand que l'on veut, on trouve toujours un polynôme de la forme $n^2 + n + B$ qui donne des nombres premiers pour $n = 0, ...,A$.
Pour la valeur $A = 41$, le nombre $B$ correspondant doit être plus grand que $10^{18}$.
...
Il est quand même curieux de constater que ces Polynôme générant des nombres premiers, ne diffèrent pas beaucoup les uns des autres ....Dans l'ouvrage référencé par Math Coss, j'ai utilisé l'entier premier $P = 27941$ afin de regarder la densité de premiers qu'il génère ..et une comparaison avec $P = 941$.
Il paraît évident que ces Polynômes doivent prendre une infinité de premiers lorsque que x tend vers l'infini..Sinon on pourrait penser, qu'a partir d'une certaine limite, les suites arithmétiques de raison 30 et de premier terme $P[7 ; 31]$; qui sont parcourues par ces polynômes , contiendraient l'infinité des nombres premiers alors qu'elles ne seraient plus en progression arithmétique de raison 30, si on enlève de ces suites les valeurs de ces polynômes...:-S
Voila un exemple illustré dans le fichier joint, et pour ceux qui s'intéressent à ces probabilités...
j'avais écrit il y a six mois dans Shtam un petit mémo sur la divisibilité des trinômes d'EULER X2+X+Q
Q étant un entier.
Celà peut servir à la discussion,ces trinômes étant dotés de propriétés étonnantes
existe-t-il une liste exhaustive des polynômes d'ordre [de degré] 2 engendrant plus d’une 30-aine de nombres premiers consécutifs distincts ? Je n’en trouve pas des masses et cela me surprend à une époque où la puissance informatique devrait faire sauter les gonds.