x^2+x+1=0 dans Z/pZ

Skywear · October 2017

Bonjour, je cherche à montrer que x^2+x+1=0 a une solution dans Z/pZ ssi x^2+3=0 a une solution dans Z/pZ (p premier >2)

Je ne vois pas bien comment passer d'une équation à l'autre.
Si j'ai un x tel que x^2+x+1=0, alors si x ne vaut pas 1 (auquel cas p=3) j'ai x^3=1, mais je ne vois pas comment poursuivre après ni si ça peut servir...

Chaurien · October 2017

Comme dans $\R$, forme canonique.

Skywear · October 2017

Merci !

Skywear · October 2017

Une question cependant, si x^2+x+1=0 alors (2x+1)^2+3=0 et c'est bon, mais pour la réciproque, si j'ai x^2+3=0 j'ai envie de dire que ((x-1)/2)^2+(x-1)/2+1=0, seul problème (x-1) n'a pas de raison d'être pair a priori ? puisque par exemple, 2^2+3=0 mod 7 et 2-1=1 est impair

Guego · October 2017

Dans $\Z/p\Z$ avec $p$ impair, il n'y a pas de pair/impair. On peut toujours diviser par $2$.

Poirot · October 2017

Oublie la parité, tu ne manipules pas des entiers mais des éléments d'un anneau qui porte le nom de $\mathbb Z/p \mathbb Z$. On peut par exemple se poser la question de si on peut diviser par $2$ ou non dans cet anneau, et pour cela on peut déjà chercher à déterminer les inversibles de $\mathbb Z/n \mathbb Z$.

Skywear · October 2017

D'accord merci

Si je comprends bien, quand je "divise x-1 par 2" dans ce contexte, je multiplie en fait x-1 par l'inverse de 2 dans Z/pZ (2 étant non nul donc inversible dans Z/pZ) c'est ça ?

gai requin · October 2017

Oui, puisque $\Z/p\Z$ est un corps.

Guego · October 2017

D'ailleurs l'inverse de $2$ est facile à calculer. Comme $p$ est impair, il s'écrit $p=2k-1$ avec $k\in \Z$. Ainsi, $2k = 1$ modulo $p$, et $k$ est l'inverse de $2$ dans $\Z/p\Z$.

x^2+x+1=0 dans Z/pZ

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