L'équation intégrale de $j(\sqrt {-163})$
Hello,
Sorte de suite des deux posts http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1544290,1544450#msg-1544450 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1544290,1544544#msg-1544544
Je sais bien (cf le post de noix de totos) que l'utilisation des valeurs de $j$ est délicate et (même très délicate comme on va le voir ci-dessous). Malgré cela, j'ai voulu déterminer l'équation intégrale (sur $\Z$) de $j(\tau_0)$ où $\tau_0 = \sqrt {-163} = i\sqrt {163}$ et $j : \mathbb H \to \mathbb C$ est l'invariant modulaire habituel.
Contexte : ici l'anneau en cause est $\Z[\sqrt{-163}]$ de discriminant $D = 2^2 \times (-163)$, d'indice 2 dans $\mathcal O_K$ avec $K = \Q(\sqrt {-163})$. Il y a 3 formes (primitives) réduites de discriminant $D$ :
$$
q_0 = (1, 0, 163) = x^2 + 163 y^2, \qquad q_1, q_2 = (4, \pm 2, 41) = 4x^2 \pm 2xy + 41y^2
$$
L'équation que l'on veut déterminer est donc de degré 3. C'est une équation pour le corps des classes $K^{(D)}$ de l'anneau $\Z[\sqrt {-163}]$ (est ce la traduction correcte de ring class field of ?), une certaine extension abélienne de $K^{(D)}/K$ de degré 3. Cette équation se nomme le polynôme d'Hilbert de $\tau_0$ et se calcule (calculer est peut-être un verbe mal choisi ici?) comme suit :
$$
H = (X - j(\tau_0)) (X - j(\tau_1)) (X - j(\tau_2)), \qquad \tau_k = {-b_k + i\sqrt {|D]} \over 2a_k} \quad \hbox {où} \quad q_k = (a_k,b_k,c_k)
$$
C'est un polynôme à coefficients dans $\Z$. D'ailleurs, le voici
Vu sa tête, j'aurais dû comprendre que j'allais au devant des ennuis. D'ailleurs, comme $D \bmod 8 \ne 5$, on lui préfère un autre polynôme dit de Weber beaucoup plus sympathique :
$$
W = X^3 - 6X^2 + 4X - 2 \qquad \qquad F(t) = \left[ {t^{24} - 16 \over t^8} \right]^3
$$
Cela ne se voit pas à l'oeil nu, mais ils définissent exactement la même extension au dessus de $\Q$, a fortiori au dessus de $K$. Et ce qui fait le lien, c'est la fraction rationnelle $F$ : si $x$ est une racine de $W$, alors $y = F(x)$ est une racine de $H$. Il y a également une expression dans l'autre sens i.e. de $x$ en fonction de $y$, mais elle est énorme.
Malgré tous mes efforts, je n'ai jamais pu obtenir $H$, mais seulement une très très pâle approximation de $H$. Je ne sais pas si ce qui suit est très lisible.
Bilan : on voit que l'utilisation du calcul flottant n'est pas mon fort. J'ai monté la précision comme un bourrin, sans succès.
Je me suis dit que peut-être $i\sqrt {163}$, c'était presque $i\infty$ (j'exagère un tantinet). Peut-être faut-il appliquer aux $\tau_k$ une transformation de $\text{Sl}_2(\Z)$ pour diminuer l'ordonnéee ? Quelqu'un sait ?
Une remarque en ce qui concerne les deux valeurs $j(\tau_1)$ et $j(\tau_2)$ : elles sont conjuguées (au sens complexe), ce qui est normal car on a $\tau_2 = -\overline {\tau_1}$ et l'égalité :
$$
j(-\overline {\tau}) = \overline {j(\tau)}
$$
Mais on a l'impression de voir $j(\tau_1) = 744 + i \times \cdots$. Et $744$, dans le monde modulaire, c'est pas n'importe quoi. Je rêve ?
Morale du jour : on ne gagne pas à tous les coups quand on veut expliciter.
Sorte de suite des deux posts http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1544290,1544450#msg-1544450 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1544290,1544544#msg-1544544
Je sais bien (cf le post de noix de totos) que l'utilisation des valeurs de $j$ est délicate et (même très délicate comme on va le voir ci-dessous). Malgré cela, j'ai voulu déterminer l'équation intégrale (sur $\Z$) de $j(\tau_0)$ où $\tau_0 = \sqrt {-163} = i\sqrt {163}$ et $j : \mathbb H \to \mathbb C$ est l'invariant modulaire habituel.
Contexte : ici l'anneau en cause est $\Z[\sqrt{-163}]$ de discriminant $D = 2^2 \times (-163)$, d'indice 2 dans $\mathcal O_K$ avec $K = \Q(\sqrt {-163})$. Il y a 3 formes (primitives) réduites de discriminant $D$ :
$$
q_0 = (1, 0, 163) = x^2 + 163 y^2, \qquad q_1, q_2 = (4, \pm 2, 41) = 4x^2 \pm 2xy + 41y^2
$$
L'équation que l'on veut déterminer est donc de degré 3. C'est une équation pour le corps des classes $K^{(D)}$ de l'anneau $\Z[\sqrt {-163}]$ (est ce la traduction correcte de ring class field of ?), une certaine extension abélienne de $K^{(D)}/K$ de degré 3. Cette équation se nomme le polynôme d'Hilbert de $\tau_0$ et se calcule (calculer est peut-être un verbe mal choisi ici?) comme suit :
$$
H = (X - j(\tau_0)) (X - j(\tau_1)) (X - j(\tau_2)), \qquad \tau_k = {-b_k + i\sqrt {|D]} \over 2a_k} \quad \hbox {où} \quad q_k = (a_k,b_k,c_k)
$$
C'est un polynôme à coefficients dans $\Z$. D'ailleurs, le voici
> H ; X^3 - 68925893036109279891085639286946000*X^2 + 102561728837719322645921325412908000000*X - 18095625621665522953693950872675200892692248000000000
Vu sa tête, j'aurais dû comprendre que j'allais au devant des ennuis. D'ailleurs, comme $D \bmod 8 \ne 5$, on lui préfère un autre polynôme dit de Weber beaucoup plus sympathique :
$$
W = X^3 - 6X^2 + 4X - 2 \qquad \qquad F(t) = \left[ {t^{24} - 16 \over t^8} \right]^3
$$
Cela ne se voit pas à l'oeil nu, mais ils définissent exactement la même extension au dessus de $\Q$, a fortiori au dessus de $K$. Et ce qui fait le lien, c'est la fraction rationnelle $F$ : si $x$ est une racine de $W$, alors $y = F(x)$ est une racine de $H$. Il y a également une expression dans l'autre sens i.e. de $x$ en fonction de $y$, mais elle est énorme.
Malgré tous mes efforts, je n'ai jamais pu obtenir $H$, mais seulement une très très pâle approximation de $H$. Je ne sais pas si ce qui suit est très lisible.
> j0, j1, j2 := Explode([C| jInvariant(q) : q in [q0,q1,q2]]) ; > j0 ; 68925893036109279891085639286128640.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 > j1 ; 743.9999999999181306778954261383640474011630116287895758686588010277773719280958175659179687500000000 + 512384047.9956172249921224572519967233128618255832975592056754976511001586914062500000000000000000000*i > j2 ; 743.9999999999181306778954261383640474011630116287895758686588010277773719280958175659179687500000000 - 512384047.9956172249921224572519967233128618255832975592056754976511001586914062500000000000000000000*i > h2approx := -(j0 + j1 + j2) ; > h1approx := j0*j1 + j0*j2 + j1*j2 ; > h0approx := -j0*j1*j2 ; > > h2approx ; -68925893036109279891085639286130127.99999999983626135579085227672809480232602325757915173731760205555 > Round(h2approx) ; -68925893036109279891085639286130128 <--- LOIN du vrai coefficient dessous > Coefficient(H,2) ; -68925893036109279891085639286946000 > h1approx ; 102561728837719322645921331400272176880.4961872807150926057531616500734631141981292442448641394627870 > Round(h1approx) ; 102561728837719322645921331400272176880 <--- PAREIL > Coefficient(H,1) ; 102561728837719322645921325412908000000 > h0approx ; -18095625621665522953693950872569816270460042504785224.33586674303191789506410675463083793142070252042 > Round(h0approx) ; -18095625621665522953693950872569816270460042504785224 <---- PAREIL > Coefficient(H,0) ; -18095625621665522953693950872675200892692248000000000
Bilan : on voit que l'utilisation du calcul flottant n'est pas mon fort. J'ai monté la précision comme un bourrin, sans succès.
Je me suis dit que peut-être $i\sqrt {163}$, c'était presque $i\infty$ (j'exagère un tantinet). Peut-être faut-il appliquer aux $\tau_k$ une transformation de $\text{Sl}_2(\Z)$ pour diminuer l'ordonnéee ? Quelqu'un sait ?
Une remarque en ce qui concerne les deux valeurs $j(\tau_1)$ et $j(\tau_2)$ : elles sont conjuguées (au sens complexe), ce qui est normal car on a $\tau_2 = -\overline {\tau_1}$ et l'égalité :
$$
j(-\overline {\tau}) = \overline {j(\tau)}
$$
Mais on a l'impression de voir $j(\tau_1) = 744 + i \times \cdots$. Et $744$, dans le monde modulaire, c'est pas n'importe quoi. Je rêve ?
Morale du jour : on ne gagne pas à tous les coups quand on veut expliciter.
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Réponses
Référence.
[1] C. Herz, Computations of singular $j$-invariants, Seminar on Complex multiplication, IAS 1957/8. https://books.google.fr/books?id=vX58CwAAQBAJ&pg=PA22&lpg=PA22&dq=COMPUTATION+OF+SINGULAR+J-INVARIANTS,+Herz&source=bl&ots=cwYJg8SCQD&sig=t-gCrEeDSaV9BCHW-vXVCMd3140&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiGu9i74fLWAhUB1xoKHcImDDoQ6AEIKTAA#v=onepage&q=COMPUTATION OF SINGULAR J-INVARIANTS, Herz&f=false
Merci (mais je dispose de nombreuses autres références plus récentes). Mais comment font-ils ``eux'' ? Certes, ce n'est pas mon métier mais il me semble que je dispose des outils (primitives) que celles utilisées par ``eux''. Je ne peux pas croire que ces polynômes soient tabulés (??)
@flip flop
Tu devrais lire la doc du pdf de magma sur les fonctions de Weber, le polynôme de Weber et la fraction rationnelle d'une certaine forme qui fait passer d'une racine du polynôme de Weber à une racine du polynôme de Hilbert (pour le même discriminant). La doc magma pour être sûr des signes ...etc.. Et bien sûr, en même temps, lire dans Cox. Cox consacre un peu près 100 pages (chapitre III) à tout le fourbi quadratique imaginaire - elliptique - modulaire ...etc.. Tu te doutes que je n'ai lu qu'une partie infime de cela.
Du travail pour plusieurs années ? Mais faut peut-être TERMINER ce qui est en cours (en prenant le temps) ?
Mais non, je suis stupide, ils ne peuvent pas être tabulés. Ils sont calculés à la demande.
SFD c'est pour Some Fundamental Discriminants, rien à voir avec ...
[Déplacé comme tu le souhaitais. Poirot]
Le magnifique cadeau pour le boulot que tu as fait. J'ai pris le discriminant $D = 2^2 \times (-411)$. Le corps quadratique qui intervient est $\Q(\sqrt {-411)}$ et le discriminant $-411$ est fondamental i.e. c'est celui de $\mathcal O_K$. Et il y a une certaine extension abélienne $K^{(D)}/K$, de degré 18 qui a la vertu que son groupe de Galois est canoniquement isomorphe (via Artin map) au groupe des classes d'idéaux inversibles de l'anneau $A$ d'indice 2 dans $\mathcal O_K$ à savoir $A = \Z\left[ {D + \sqrt D \over 2}\right]$.
Voici deux polynômes $W,H$ qui réalisent la chose. Je ne montre pas $H$ qui est énorme mais je fais vérifier que si $x$ est une racine de $W$, alors $F(x)$ est une racine de $H$ avec :
$$
F = {(t^8 - 16)^3 \over t^8}
$$
Voilà, voilà.
Mais comment faisaient Hilbert et Weber, à leur époque ?
[small](donc ni définie par un tore complexe, ni par un polynôme cubique, en particulier dans le cas $E' = E/C$ où $E: y^2=x^3+ax+b$ avec CM et $C= \ker([$u$]) \times \ker([$v$])$ est un sous-groupe fini de $E$ et $\mathbb{C}(E') = \mathbb{C}(E)^G$ où $G= \{ (x,y) \mapsto (x,y) + P, P \in C\} \subset \text{Aut}(\mathbb{C}(E))$)[/small]
Autre question : est-ce que WeberClassPolynomial fonctionne grace à une propriété des fonctions modulaires, ou bien est-ce que c'est une méthode générale pour trouver un élément primitif (d'une extension abélienne) avec un polynôme minimal plus sympa ?
Et as-tu regardé le polynôme minimal $\in \mathbb{Z}[j,x]$ de $j(\gamma \tau) $ dont parle Silverman p.155 ?
$$
y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6 \qquad \qquad \hbox {poids de $x$ = 2, poids de $y = 3$, poids de $a_i = i$, homogène de poids 6}
$$
On fait COMME SI la caractéristique était $\ne 2$ : un changement de variables (cf Silverman) pour la mettre sous la forme courte :
$$
y^2 = 4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x + b_6
$$
Avec une expression explicite de chaque $b_i$ en fonction des $a_k$, définie TOUT LE TEMPS.
Et ensuite, on fait COMME SI la caractéristique était $\ne 3$ pour obtenir une forme très courte :
$$
y^2 = x^3 - {c_4 \over 48} x - {c_6 \over 864}
$$
$c_4$ et $c_6$ sont définis TOUT LE TEMPS.
Ceci est modélisé sur le monde complexe. Pour comprendre, il faut connaître $g_2, g_3$, $G_4$, $G_6$.
On est alors en position de définir $j$ sur le modèle complexe.
Cela paraît sordide (et pas bien expliqué). C'est très important de pouvoir définir les $b$-coefficients et $c$-coefficients sur un anneau quelconque. C'est capital.
J'attache 2 pages. Mais peut-être qu'avant il faut être super clair sur les séries $G_k$ et la $2i\pi$-épuration (terminologie de mézigue).
Du côté tore complexe, si $\Lambda_2= \mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}$ et $\Lambda = (a\tau+b) \mathbb{Z}+(c\tau+d) \mathbb{Z}$.
Les premiers termes de la série de Laurent de $\wp_\Lambda(z)$ sont $z^{-2}+g_2(\Lambda)z^2+g_3(\Lambda)z^4$.
On a $\wp_{\Lambda_2}(z) = \sum_{\lambda \in \Lambda_2/\Lambda} \wp_\Lambda(z+\lambda)$ [small](c'est $\wp_{\Lambda_2}$ car unique fonction $\Lambda_2$-périodique avec un seul pôle double en $0$)[/small] dont les premiers termes de la série de Laurent dépendent de $\wp_{\Lambda}''=3! \wp_\Lambda^2,\wp_\Lambda'''' = 5! \wp_\Lambda^3+t \wp_\Lambda$ ($t$ dépend de $g_2(\Lambda),g_3(\Lambda)$) évalués aux points de $\Lambda_2/\Lambda$
Du côté courbe elliptique $E$ on a $(x,y) = (\wp_\Lambda(z),\wp_\Lambda'(z))$ donc ces constantes se définissent en terme des coordonnées $x_P$ des points $P\in C$ le sous-groupe de $E$ correspondant à $\Lambda_2/\Lambda$, voire en fonction des coefficients des polynômes qui défissent les points de $C$.
Si $E$ est une courbe elliptique avec CM par $\mathcal{O}$, cela devrait donner un moyen de définir $j(E^\sigma)$ et donc le polynôme minimal de $j(E)$ d'une façon plus algébrique.
Sorry, ma réponse est à côté de la plaque, ce qui provient du fait que je n'ai pas lu suffisamment ton post. C'est redoutable le forum.
Et je crois que je comprends ce que tu veux dire. De manière générale, si $\Lambda_1, \Lambda_2$ sont deux réseaux de $\C$, on a l'inclusion $\Lambda_1 \subset \Lambda_2$ si et seulement si :
$$
\wp_{\Lambda_2} \in \C(\wp_{\Lambda_1})
$$
Je note maintenant $\wp_k$ au lieu de $\wp_{\Lambda_k}$.
Dans ce cas, en posant $n = [\Lambda_2 : \Lambda_1]$, on dispose d'une fraction rationnelle $u/v$, avec $\deg u = n$, $\deg v = n-1$, premiers entre eux, tels que :
$$
\wp_2 = {u(\wp_1) \over v(\wp_1)}, \qquad\qquad
u, v \in \Q(g_{2,1}, g_{3,1}, g_{2,2}, g_{3,2}) \qquad g_{ik} = g_i(\Lambda_k),\quad i = 2, 3,\quad k = 1,2
$$
C'est important de voir où habitent les polynômes $u,v$. Pas bêtement à coefficients dans $\C$. Tout ceci est lié, pour un réseau $\Lambda$, au développement (rationnel) de $\wp_{\Lambda}$ en fonction de $g_2(\Lambda)$, $g_3(\Lambda)$.
Ci-dessous, $g_2, g_3$ sont des indéterminées sur $\Q$ et il faut comprendre que $Z$, c'est $z^2$.
Est ce que c'est ``mieux'' comme réponse i.e. plus adaptée à ta question ?
Ceci m'a permis, il y a quelques années, de conduire des calculs explicites dans une partie élémentaire de la théorie ``Multiplication complexe'' : obtention des équations elliptiques de certains réseaux, obtention explicite de certaines isogénies, vision de l'action de $\text{Aut}(\C)$ sur les réseaux (faire agir sur $g_2, g_3$ i.e. sur $\wp$), ..etc.. Il en reste une note POUR MOI de 32 pages.
Lié à ta question, il y a probablement également les polynômes de $n$-division et les formules de Vélu. Par exemple, si $E$ est une courbe elliptique donnée par une équation (de Weierstrass) et $G \subset E$ un sous-groupe fini, alors $E/G$ est une courbe elliptique et $E \to E/G$ est une isogénie. C'est le type même d'isogénie séparable. Et les formules de Vélu permettent d'obtenir une équation (de Weierstrass) de $E/G$ et des formules explicites en ces coordonnées de l'isogénie $E \to E/G$. Précision : on ne demande pas à ce que les points de $G$ soient définis sur le corps de base mais que $G$ soit défini sur le corps de base. Dans toutes ces histoires, le caractère rationnel des objets est primordial (pas d'extension algébrique tant que c'est possible).
Des exemples pour comprendre que l'obtention d'équations (soit de courbes elliptiques, soit d'isogénies), ce n'est pas une évidence. In Silverman :
AEC example III.4.5 page 74
ATAEC II.2 pages 109-112
J'avais loupé ton post. Voici quelques références un peu en vrac
Explicit Construction of the Hilbert Class Fields of Imaginary Quadratic Fields by Integer Lattice Reduction, Kaltofen & Yui. Number Theory, New York Seminar 1989-1990 (dans un ouvrage Editors D.V. Chudnovsky, G.V. Chudnovsky, H. Cohn, M.B. Nathasson)
On the singular values of Weber Modular Functions, Yui & Zagier, Maths Comp. vol 66, number 220, Oct 1997 p. 1645-1662 (utilisé par magma, je pense)
Half-step Modular Equations, Harvey Cohn, Math. Comp. Vol 64, number 221, July 1995, p. 1267-1285
Some Examples of Weber-Hecke Ring Class Field Theory, Harvey Cohn, Math. Ann. 265, 83-100, 1983
Algebraicity of Singular Values and Arithmetic of Principal Modular Forms, Thesis, Rebecca Torrey, May 2003