modulo q

jared94 · October 2017

Bonjour
ça a l'air simple mais je bloque un peu...

Soit $q$ un entier $>0$.
Montrer qu'on peut trouver deux entiers $k_1$ et $k_2$ distincts tels que $$
10^{k_1} = 10^{k_2} \mod q
$$ Merci pour votre aide !

flipflop · October 2017

Le principe des tiroirs, tu connais ? Sinon plus formellement la notion d'injection d'une application ?

jared94 · October 2017

oui oui je connais !

Fin de partie · October 2017

Si $10$ est premier avec $q$ on peut travailler dans le groupe $\left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right)^*$ qui contient la classe de $10$ modulo $q$.

Dans ce cas, on sait qu'il existe $a>0$ tel que $10^a\equiv 1\mod{q}$

jared94 · October 2017

merci pour vos réponses !

bisam · October 2017

@Fin de partie : Je pense que tu réponds en utilisant la question suivante de l'exercice de jared94...
La méthode suggérée par flipflop est bien plus élémentaire.

flipflop · October 2017

@bisam : Par contre, comment on explique les choses bien plus élémentaires ???

@Jared : je n'ai pas répondu car je ne sais pas comment t'aider plus sans te donner la réponse ! Il faut installer une petite discussion, car tu me dis que tu connais, les injections et les tiroirs ... mais tu nous dis merci, mais je ne sais pas si c'est FDP qui t'as fait peur ou si tu as compris !

jared94 · October 2017

En fait il me semble que j'ai compris, par l'absurde.
L'ensemble $\{10^k\}_{k\ge 0}$ est infini, et il n'y qu'un nombre fini de classes d'équivalence modulo $q$...

En fait c'est un exercice où on doit montrer qu'un rationnel a un développement décimal périodique (en base 10).

Poirot · October 2017

@jared94 : oui c'est exactement le principe des tiroirs. En termes plus savants, l'application $$k \mapsto 10^k \pmod q$$ de $\mathbb N^*$ dans $\mathbb Z/ q \mathbb Z$ ne saurait être injective...

modulo q

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