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modulo q

Envoyé par jared94 
modulo q
le mois dernier
Bonjour
ça a l'air simple mais je bloque un peu...

Soit $q$ un entier $>0$.
Montrer qu'on peut trouver deux entiers $k_1$ et $k_2$ distincts tels que $$
10^{k_1} = 10^{k_2} \mod q
$$ Merci pour votre aide !



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: modulo q
le mois dernier
avatar
Le principe des tiroirs, tu connais ? Sinon plus formellement la notion d'injection d'une application ?
Re: modulo q
le mois dernier
oui oui je connais !
Re: modulo q
le mois dernier
avatar
Si $10$ est premier avec $q$ on peut travailler dans le groupe $\left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right)^*$ qui contient la classe de $10$ modulo $q$.

Dans ce cas, on sait qu'il existe $a>0$ tel que $10^a\equiv 1\mod{q}$

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: modulo q
le mois dernier
merci pour vos réponses !
Re: modulo q
le mois dernier
avatar
@Fin de partie : Je pense que tu réponds en utilisant la question suivante de l'exercice de jared94...
La méthode suggérée par flipflop est bien plus élémentaire.
Re: modulo q
le mois dernier
avatar
@bisam : Par contre, comment on explique les choses bien plus élémentaires ???

@Jared : je n'ai pas répondu car je ne sais pas comment t'aider plus sans te donner la réponse ! Il faut installer une petite discussion, car tu me dis que tu connais, les injections et les tiroirs ... mais tu nous dis merci, mais je ne sais pas si c'est FDP qui t'as fait peur ou si tu as compris !



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par michael.
Re: modulo q
le mois dernier
En fait il me semble que j'ai compris, par l'absurde.
L'ensemble $\{10^k\}_{k\ge 0}$ est infini, et il n'y qu'un nombre fini de classes d'équivalence modulo $q$...

En fait c'est un exercice où on doit montrer qu'un rationnel a un développement décimal périodique (en base 10).
Re: modulo q
le mois dernier
@jared94 : oui c'est exactement le principe des tiroirs. En termes plus savants, l'application $$k \mapsto 10^k \pmod q$$ de $\mathbb N^*$ dans $\mathbb Z/ q \mathbb Z$ ne saurait être injective...
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