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Formes modulaires de poids 2

Envoyé par GrothLeTroll 
Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Il n'existe pas de formes modulaires de poids 2, pourtant je n'arrive pas à montrer que la somme suivante
est nulle :$$\Sigma(w)=\sum_{(n,m)\neq (0,0)} \frac {(-1)^n+(-1)^m+(-1)^{n+m}}{(wn+ m)^2}$$ La somme converge-t-elle?
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Qui est $w$ ? Dans quel ensemble vivent $m$ et $n$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Je présume que $w$ est un nombre complexe [edit]dans le demi-plan de Poincaré[/edit], et que $m$ et $n$ parcourent les entiers relatifs (en excluant sans doute que $wn+m=0$).

Je vois une tentative de bricoler une série d'Eisenstein semi-convergente.

Problème : pour dire qu'une série non absolument convergente converge, il faut spécifier un ordre de sommation.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skilveg.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Pour rendre la somme normalement convergente, je regroupe les sommes sur des carrés de côté $1$ du plan.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par GrothLeTroll.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Le fait que la somme soit absolument convergente ou non ne dépend pas de l'ordre de sommation, justement. En regroupant par paquets, tu imposes un ordre de sommation.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Oui, j'impose que la somme est faite des sommes partielles sur des carrés du plan en regroupant par quatre à chaque fois.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Oui mais si tu veux de bonnes propriétés vis-à-vis de l'action du groupe modulaire, est-ce que ce choix de regroupement ne pose pas un problème ?

Edit : c'est d'ailleurs exactement ce que dit la page Wikipédia en anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skilveg.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Je ne pense pas, on fait $w+1$ dans une série de sommes par quatre qui maintenant converge normalement, il ne doit pas y avoir de problème (?)...



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par GrothLeTroll.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Non, tu as besoin de pouvoir permuter le domaine de sommation par toutes les matrices de $SL_2(\mathbb{Z})$. Va plutôt voir de ce côté : https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_holomorphic_modular_form
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Il suffit en fait de vérifier pour $w+1$ et $-1/w$ car le groupe modulaire se décompose selon $S,T$ qui l'engendrent...
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Tu parles de l'action sur le demi-plan. Je te dis que cette action se traduit par une action sur le domaine de sommation. Or la valeur de ta somme dépend de l'ordre de sommation. Même $T$ qui se traduit par $m\mapsto m+1$ n'est pas compatible avec le découpage que tu t'es fixé.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
Je pense qu'il n'y a pas de problème pour $w+2$ car on permute les carrés, pour $w+1$ il faut montrer que si l'on somme sur des carrés décalés de $1$, on obtient la même chose... Il y a peut-être effectivement un problème.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par GrothLeTroll.
Re: Formes modulaires de poids 2
l’an passé
N'a-t-on pas quelque chose du genre $$f(z) = \sum_{m=-\infty}^\infty \sum_{n=-\infty, (n,m) \ne (0,0)}^\infty \frac{(-1)^n}{(nz+m)^2}= 2 G_2(2z)- G_2(z)$$ est une forme modulaire de poids $2$ pour $\Gamma_0(2)$ où $$G_2(z)= \zeta(2)+2i\pi\sum_{l=1}^\infty \sigma(l) e^{2i \pi l z}$$ est la série d'Eisenstein qui est une quasi forme modulaire (à cause d'un terme non-holomorphe $\Im(z)$ qui s'ajoute dans la formule de transformation $G_2(z) \mapsto G_2(-1/z)$)

Et tu peux jouer avec Magma
M := ModularForms(Gamma0(2),2); Basis(M);

// [    1 + 24*q + 24*q^2 + 96*q^3 + 24*q^4 + 144*q^5 + 96*q^6 + 192*q^7 + 24*q^8 + 312*q^9 + 144*q^10 + 288*q^11 + O(q^12)  ]



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.
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