Formes modulaires de poids 2

Je présume que $w$ est un nombre complexe [edit]dans le demi-plan de Poincaré[/edit], et que $m$ et $n$ parcourent les entiers relatifs (en excluant sans doute que $wn+m=0$).

Je vois une tentative de bricoler une série d'Eisenstein semi-convergente.

Problème : pour dire qu'une série non absolument convergente converge, il faut spécifier un ordre de sommation.

Le fait que la somme soit absolument convergente ou non ne dépend pas de l'ordre de sommation, justement. En regroupant par paquets, tu imposes un ordre de sommation.

Oui mais si tu veux de bonnes propriétés vis-à-vis de l'action du groupe modulaire, est-ce que ce choix de regroupement ne pose pas un problème ?

Edit : c'est d'ailleurs exactement ce que dit la page Wikipédia en anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series

Non, tu as besoin de pouvoir permuter le domaine de sommation par toutes les matrices de $SL_2(\mathbb{Z})$. Va plutôt voir de ce côté : https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_holomorphic_modular_form

Tu parles de l'action sur le demi-plan. Je te dis que cette action se traduit par une action sur le domaine de sommation. Or la valeur de ta somme dépend de l'ordre de sommation. Même $T$ qui se traduit par $m\mapsto m+1$ n'est pas compatible avec le découpage que tu t'es fixé.

N'a-t-on pas quelque chose du genre $$f(z) = \sum_{m=-\infty}^\infty \sum_{n=-\infty, (n,m) \ne (0,0)}^\infty \frac{(-1)^n}{(nz+m)^2}= 2 G_2(2z)- G_2(z)$$ est une forme modulaire de poids $2$ pour $\Gamma_0(2)$ où $$G_2(z)= \zeta(2)+2i\pi\sum_{l=1}^\infty \sigma(l) e^{2i \pi l z}$$ est la série d'Eisenstein qui est une quasi forme modulaire (à cause d'un terme non-holomorphe $\Im(z)$ qui s'ajoute dans la formule de transformation $G_2(z) \mapsto G_2(-1/z)$)

Et tu peux jouer avec Magma

M := ModularForms(Gamma0(2),2); Basis(M);

// [    1 + 24*q + 24*q^2 + 96*q^3 + 24*q^4 + 144*q^5 + 96*q^6 + 192*q^7 + 24*q^8 + 312*q^9 + 144*q^10 + 288*q^11 + O(q^12)  ]