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Formes modulaires de poids 2

Envoyé par GrothLeTroll 
Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Il n'existe pas de formes modulaires de poids 2, pourtant je n'arrive pas à montrer que la somme suivante
est nulle :$$\Sigma(w)=\sum_{(n,m)\neq (0,0)} \frac {(-1)^n+(-1)^m+(-1)^{n+m}}{(wn+ m)^2}$$ La somme converge-t-elle?
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Qui est $w$ ? Dans quel ensemble vivent $m$ et $n$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Chaurien.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Je présume que $w$ est un nombre complexe [edit]dans le demi-plan de Poincaré[/edit], et que $m$ et $n$ parcourent les entiers relatifs (en excluant sans doute que $wn+m=0$).

Je vois une tentative de bricoler une série d'Eisenstein semi-convergente.

Problème : pour dire qu'une série non absolument convergente converge, il faut spécifier un ordre de sommation.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par skilveg.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Pour rendre la somme normalement convergente, je regroupe les sommes sur des carrés de côté $1$ du plan.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par GrothLeTroll.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Le fait que la somme soit absolument convergente ou non ne dépend pas de l'ordre de sommation, justement. En regroupant par paquets, tu imposes un ordre de sommation.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Oui, j'impose que la somme est faite des sommes partielles sur des carrés du plan en regroupant par quatre à chaque fois.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Oui mais si tu veux de bonnes propriétés vis-à-vis de l'action du groupe modulaire, est-ce que ce choix de regroupement ne pose pas un problème ?

Edit : c'est d'ailleurs exactement ce que dit la page Wikipédia en anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par skilveg.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Je ne pense pas, on fait $w+1$ dans une série de sommes par quatre qui maintenant converge normalement, il ne doit pas y avoir de problème (?)...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par GrothLeTroll.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Non, tu as besoin de pouvoir permuter le domaine de sommation par toutes les matrices de $SL_2(\mathbb{Z})$. Va plutôt voir de ce côté : https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_holomorphic_modular_form
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Il suffit en fait de vérifier pour $w+1$ et $-1/w$ car le groupe modulaire se décompose selon $S,T$ qui l'engendrent...
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Tu parles de l'action sur le demi-plan. Je te dis que cette action se traduit par une action sur le domaine de sommation. Or la valeur de ta somme dépend de l'ordre de sommation. Même $T$ qui se traduit par $m\mapsto m+1$ n'est pas compatible avec le découpage que tu t'es fixé.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
Je pense qu'il n'y a pas de problème pour $w+2$ car on permute les carrés, pour $w+1$ il faut montrer que si l'on somme sur des carrés décalés de $1$, on obtient la même chose... Il y a peut-être effectivement un problème.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par GrothLeTroll.
Re: Formes modulaires de poids 2
il y a sept semaines
N'a-t-on pas quelque chose du genre $$f(z) = \sum_{m=-\infty}^\infty \sum_{n=-\infty, (n,m) \ne (0,0)}^\infty \frac{(-1)^n}{(nz+m)^2}= 2 G_2(2z)- G_2(z)$$ est une forme modulaire de poids $2$ pour $\Gamma_0(2)$ où $$G_2(z)= \zeta(2)+2i\pi\sum_{l=1}^\infty \sigma(l) e^{2i \pi l z}$$ est la série d'Eisenstein qui est une quasi forme modulaire (à cause d'un terme non-holomorphe $\Im(z)$ qui s'ajoute dans la formule de transformation $G_2(z) \mapsto G_2(-1/z)$)

Et tu peux jouer avec Magma
M := ModularForms(Gamma0(2),2); Basis(M);

// [    1 + 24*q + 24*q^2 + 96*q^3 + 24*q^4 + 144*q^5 + 96*q^6 + 192*q^7 + 24*q^8 + 312*q^9 + 144*q^10 + 288*q^11 + O(q^12)  ]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par reuns.
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