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Produit modulaire

Envoyé par GrothLeTroll 
Produit modulaire
l’an passé
J'ai certains arguments pour penser qu'il existe $a$ tel que le produit suivant soit modulaire :
$$q \prod_{n \geq 0}(1+q^n)^a (1-q^{2n+1})^a$$
Est-il possible de le vérifier? Et aussi, je trouve la modularité, pour une constante $K_n$, de l'expression :
$$K_n+ \sum_{n\geq 0}n^{2k+1} \frac{q^n}{(1+q^n)}- \sum_{n\geq 0}(n+1/2)^{2k+1} \frac{q^{n+1/2}}{(1+ q^{n+1/2})}+\sum_{n\geq0}(n+1/2)^{2k+1} \frac{q^{n+1/2}}{(1-q^{n+1/2})}$$
Un peu comme les séries d'Eisenstein sous forme $q$-séries...
Re: Produit modulaire
l’an passé
J'ai un argument pour penser le contraire.
Re: Produit modulaire
l’an passé
Mon argument est de prendre la dérivée logarithmique du produit et ensuite la transformée de Mellin, et pour la série, de faire une sommation de Poisson...
Re: Produit modulaire
l’an passé
Je plaisantais!
Je ne connais rien à ces histoires. C'était juste pour que tu commences par donner tes arguments à qui peut les comprendre.

Paul
Re: Produit modulaire
l’an passé
$1+q^n = \frac{1-q^{2n}}{1-q^n}$ et $1-q^{2n-1} = \frac{(1-q^{2n-1})(1-q^{2n})}{1-q^{2n}}$ donc $
\prod_{n=1}^\infty (1+q^n)(1-q^{2n-1}) =1$.

Et ton produit c'est $\frac{q}{(1-q)^a}$.

Sinon $\eta(q) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)$ est modulaire donc $\frac{\eta(q^2)}{\eta(q)}=q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1+q^n)$ est modulaire ainsi que
$\frac{\eta(q)}{\eta(q^2)} = q^{-1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n-1}) = \frac{q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)}{q^{2/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n})}$

Quand tu regardes la série de Dirichlet supposée d'une forme modulaire, fais gaffe à qu'elle soit entière, par exemple $f(z) = \sum_{n=1}^\infty \mu \ast \chi_5\ast\chi_5(n) q^n$ n'est pas modulaire (bien que $\frac{L(s,\chi_5)^2}{\zeta(s)}$ a une équation fonctionnelle similaire à $\zeta(s)$) à cause des pôles de $1/\zeta(s)$ (ce qui donne quelque chose du genre $z^{1/2} f(-1/z) = f(z)-\sum_\rho z^\rho\frac{L((s,\chi_5)^2 }{\rho \zeta'(\rho)}$)



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