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Produit modulaire

Envoyé par GrothLeTroll 
Produit modulaire
il y a sept semaines
J'ai certains arguments pour penser qu'il existe $a$ tel que le produit suivant soit modulaire :
$$q \prod_{n \geq 0}(1+q^n)^a (1-q^{2n+1})^a$$
Est-il possible de le vérifier? Et aussi, je trouve la modularité, pour une constante $K_n$, de l'expression :
$$K_n+ \sum_{n\geq 0}n^{2k+1} \frac{q^n}{(1+q^n)}- \sum_{n\geq 0}(n+1/2)^{2k+1} \frac{q^{n+1/2}}{(1+ q^{n+1/2})}+\sum_{n\geq0}(n+1/2)^{2k+1} \frac{q^{n+1/2}}{(1-q^{n+1/2})}$$
Un peu comme les séries d'Eisenstein sous forme $q$-séries...
Re: Produit modulaire
il y a sept semaines
J'ai un argument pour penser le contraire.
Re: Produit modulaire
il y a sept semaines
Mon argument est de prendre la dérivée logarithmique du produit et ensuite la transformée de Mellin, et pour la série, de faire une sommation de Poisson...
Re: Produit modulaire
il y a sept semaines
Je plaisantais!
Je ne connais rien à ces histoires. C'était juste pour que tu commences par donner tes arguments à qui peut les comprendre.

Paul
Re: Produit modulaire
il y a sept semaines
$1+q^n = \frac{1-q^{2n}}{1-q^n}$ et $1-q^{2n-1} = \frac{(1-q^{2n-1})(1-q^{2n})}{1-q^{2n}}$ donc $
\prod_{n=1}^\infty (1+q^n)(1-q^{2n-1}) =1$.

Et ton produit c'est $\frac{q}{(1-q)^a}$.

Sinon $\eta(q) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)$ est modulaire donc $\frac{\eta(q^2)}{\eta(q)}=q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1+q^n)$ est modulaire ainsi que
$\frac{\eta(q)}{\eta(q^2)} = q^{-1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n-1}) = \frac{q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)}{q^{2/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n})}$

Quand tu regardes la série de Dirichlet supposée d'une forme modulaire, fais gaffe à qu'elle soit entière, par exemple $f(z) = \sum_{n=1}^\infty \mu \ast \chi_5\ast\chi_5(n) q^n$ n'est pas modulaire (bien que $\frac{L(s,\chi_5)^2}{\zeta(s)}$ a une équation fonctionnelle similaire à $\zeta(s)$) à cause des pôles de $1/\zeta(s)$ (ce qui donne quelque chose du genre $z^{1/2} f(-1/z) = f(z)-\sum_\rho z^\rho\frac{L((s,\chi_5)^2 }{\rho \zeta'(\rho)}$)



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