Une équation fonctionnelle

@reuns
Juste une petite question (tu connais mon infirmité analytique). Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1547580,1548238#msg-1548238, tu mentionnes une valeur absolue, disons :
$$
u_n(s) = { (-1)^n \over | n + 1/2 | ^s}
$$
Alors $u_n(s) + u_{-n-1}(s) = 0$. Mais dans le premier post de G. il n'y a pas de valeur absolue. Quid ?

Peut-être un pointeur (??) sur Apostol (On the Lerch zeta function) in https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.pjm/1103052188. Paramètres : $x=1/2$ et $a = 1/2$, non ?

Et donc $n \mapsto \chi(n)$ est un caractère de Dirichlet,
et si on regarde à la place $n \mapsto n\chi(n)$ alors c'est un caractère trivial sur $\mathbb{Z}^\times$
et donc $(n) \mapsto n\chi(n) $ est un caractère de Hecke, qui est bien défini sur les idéaux de $\mathbb{Z}$ et qu'on peut s'amuser à voir comme un caractère de $\mathbb{A}_\mathbb{Q}^\times$ défini comme $\psi = \prod_{v\le \infty} \psi_v$ où ....

@reuns
Pour l'instant (et peut-être pour longtemps), je suis trop loin pour piger. Ce que j'ai cru comprendre (de la doc de magma) : une $L$-série sympathique possède une dimension $d$, un conducteur, $d$ $\Gamma$-shifts $\lambda_1, \cdots, \lambda_d$, un poids, un signe (et certainement d'autres attributs). Et, avec les notations de la doc, en posant :
$$
L^\star(s) = \left( {\text{conducteur} \over \pi^d}\right)^{s/2} \times \prod_{i=1}^d \Gamma\Bigl( {s + \lambda_i \over 2}\Bigr) \times L(s) \qquad\qquad (\star)
$$
Et c'est $L^\star$ qui vérifie l'équation fonctionnelle :
$$
L^\star(s) = \text{signe} \times \overline L^\star(\text{weight} - s)
$$
Par exemple, étant donné un discriminant quadratique fondamental $D < 0$ et
$$
L_D (s) = \sum_{n \ge 1} {\chi_D(n) \over n^s}
$$
alors la dimension est $d=1$, le conducteur vaut $|D|$, le signe est 1, et le $\Gamma$-shift est réduit à $1$. Et souvent, les auteurs introduisent :
$$
\Lambda_D(s) =
\left( {|D| \over \pi}\right)^{(s+1)/2} \times \Gamma\Bigl( {s + 1 \over 2}\Bigr) \times L_D(s) \qquad\qquad (\star')
$$
qui vérifie $\Lambda_D(1-s) = \Lambda_D(s)$. Tu noteras une petite différence entre $(\star)$ et $(\star')$ concernant le premier exposant mais cela introduit juste un facteur multiplicatif (indépendant de $s$ !!). Idem d'ailleurs pour la fonction $\zeta_K$ de Dedekind d'un corps de nombres $K$ : la fonction construite à partir de $\zeta_K$ qui vérifie l'équation fonctionnelle (de Dedekind) diffère selon les auteurs (à une constante multiplicative près seulement !!).

Si j'ai bien compris, tu donnes les moyens qui conduisent à l'équation fonctionnelle attachée à $L_{\chi_{-4}}$ ?

Ci-dessous un petit exemple. J'ai du mal à comprendre pourquoi la $L$-série est ``mal renseignée'' en ce qui concerne son signe : l'algorithme qui élabore la $L$-série à partir du caractère de Dirichlet devrait quand même connaitre la vie ! Du coup, il faut réaliser le forcing CheckFunc.. de manière à ce que la $L$-série s'auto-corrige. Bizarre. Je ne sais pas ce qu'est le expfactor.

> chi4 := KroneckerCharacter(-4) ;
> Lchi4 := LSeries(chi4) ;
> Conductor(Lchi4) ;
4
> GammaFactors(Lchi4) ;
[ 1 ]
> // 7-uple : <weight, gamma-shifts, conductor, Euler-factors-computation, sign, L^*-poles, L^*-residues> 
> LSeriesData(Lchi4) ; 
<1, [ 1 ], 4, function(n [ Precision ]) ... end function, 0, [], []>    <- CHAMP SIGNE = 0 signifie ``je suis ignorante''
> // <1, [ 1 ], 4, function(n [ Precision ]) ... end function, 0, [], []>
> Sign(Lchi4) ;  <----------- A METTRE A JOUR
0
> // CheckF.. : en principe 0 en retour (si tout va bien)
> CheckFunctionalEquation(Lchi4) ;
0.000000000000000000000000000000
> Sign(Lchi4) ;   <----------- MIS A JOUR             
1.0000000000000000000
> LSeriesData(Lchi4) ; 
<1, [ 1 ], 4, function(n [ Precision ]) ... end function, 1.00000000000000000, [], []>  <- L'INFORMATION A CHANGE
> Lchi4`expfactor ;
1.12837916709551257389615890312154517168810125865799771368817

1) Qu'en est-il du problème initial ? J'ai du mal à comprendre. L'initiateur du fil définit une certaine fonction $F(s) = \text{ peu-importe}$, pose $G(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) F(s)$ et annonce l'équation fonctionnelle $G(1 - s) = G(s)$.

Toi, Reuns, il me semble que tu contestes. Vrai, faux ?

Moi, naïf que je suis dans ce domaine, je me dis ``$G(1-s) = G(s)$ : oui et alors ? Et si c'est vrai, cela ``sert à quoi ?''


@reuns Une coquille dans ton dernier post : il s'agit de ``forme modulaire de poids $k$ pour $\Gamma_0(q)$ et pas $\Gamma_0(n)$. Car on voit plus loin $q$ (le niveau, le conducteur) qui intervient dans l'équation fonctionnelle.

2) A propos de $L^\star$ dans mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1547580,1549056#msg-1549056. Pour moi, en ce qui concerne les $L$-séries qualifiées de sympathiques par mézigue (j'ai oublié de parler de l'attribut $p$-Euler facteur car lorsque l'on est sympathique, on est multiplicatif avec un $p$-Euler facteur), cette définition de $L^\star$ permet d'unifier les traitements de l'équation fonctionnelle.

Je prends l'exemple d'une courbe elliptique rationnelle $E$. Elle possède une $L$-série que je note $L_E$. Eh bien, $L_E$ a une dimension (ou degré) $d$ qui est $d = 2$ (ce 2 provient de $2g$ avec $g=1$), donc deux $\Gamma$-shifts qui sont $0,1$, un conducteur $N$ qui est un entier $\ge 1$ (c'est le conducteur de la courbe elliptique), un signe (root-number) $\varepsilon = \pm 1$, un poids (weight) qui est 2. Et $L^\star$ vaut, selon le moule général :
$$
L^\star(s) = \left( {N \over \pi^2}\right)^{s/2} \ \Gamma\Bigl( { s \over 2} \Bigr) \ \Gamma\Bigl( { s+1 \over 2} \Bigr) \ L_E(s)
$$
Et l'équation fonctionnelle est $L^\star(s) = \varepsilon L^\star(2 - s)$ (le $2$ est le 2 du poids). A comparer avec ce que l'on voit parfois
$$
\Lambda_E(s) = {N^{s\over 2} \over (2\pi)^s} \ \Gamma(s) \ L_E(s) , \qquad \qquad \Lambda_E(s) = \varepsilon \Lambda_E(2-s)
$$
Eh bien, c'est la même chose car :
$$
L^\star = \text {constante} \times \Lambda_E \qquad \text {constante} = 2 \times \pi^{1/2}
$$
Ce qui provient de la formule de duplication de Gamma (qu'évidemment j'ignorais vue mon inculture analytique) :
$$
{\Gamma(s) \over 2^s} = {1 \over 2} \pi^{-1 \over 2} \ \Gamma\Bigl( { s \over 2} \Bigr) \ \Gamma\Bigl( { s+1 \over 2} \Bigr)
$$

3) Exercice : soit $K/\Q$ un corps de nombres de degré $n$, de signature $r_1, r_2$ avec donc $r_1 + 2r_2 = n$. Alors $K$ possède une $L$-série $\zeta_K$ (de Dedekind), qui est de degré $n$, dont les $n$ shifts sont :
$$
(0^{r_1+r_2}, 1^{r_2}) = ( \overbrace {0, \cdots, 0}^{r_1+r_2}, \ \overbrace {1, \cdots, 1}^{r_2}\ )
$$
Le conducteur de $\zeta_K$ est la valeur absolue du discriminant de $K$, son poids est $1$ et enfin le signe est $1$
L'exercice consiste à comparer $L^\star$ pour $\zeta_K$, moule général, aux différentes versions $\Lambda_K(s)$ que l'on trouve dans les bons livres. Des constantes multiplicatives débarquent selon les auteurs.