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Une équation fonctionnelle

Envoyé par GrothLeTroll 
Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
Soit $\quad\displaystyle\zeta_2 (s)= \sum_{n \in {\mathbb Z}}\frac {(-1)^n}{(n+1/2)^s}$
et $\quad\displaystyle \xi_2 (s)=\frac{1}{\pi^{s/2}} \zeta_2 (s) \Gamma (s/2)$
alors $\xi_2$ vérifie l'équation fonctionnelle $$\xi_2 (s)= \xi_2 (1-s)\ $$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par GrothLeTroll.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (n+1/2)^{-s}=0$. Tu veux dire $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (n+1/2)^{-s} =- 2^s L(s,\chi)=- 2^s \prod_p \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}$ qui est une fonction L de Dirichlet.

Alors c'est $\Gamma((s+1)/2)$ et pas $\Gamma(s/2)$ parce que $\chi = [0,1,0,-1]$ est un caractère primitif (modulo $4$) et $\chi(-1) = -1$ (odd Dirichlet character).

Sa transformée de Fourier discrète c'est $\widehat{\chi}(k) = \sum_{n=1}^4 \chi(n) e^{-2i \pi nk/4}= \widehat{\chi}(1)\chi(k)$.

La fonction $\theta$ / forme modulaire associée c'est $\sum_{n=-\infty}^\infty n \chi(n) e^{2i \pi n^2 z}$, regarde Garrett p.6 pour tous les détails.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
Je ne pense pas, on a : $\xi_2 (s)= \int_0^{\infty} t^{s/2-1} \theta_2 (t) dt$ avec $\theta_2 (t)= \sum_n (-1)^n \exp (-\pi (n+1/2)^2 t)$ et $\theta_2 (t)= \frac{1}{\sqrt {t}} \theta_2 (1/t)$ en faisant une sommation de Poisson, donc on a $\xi_2(s)=\xi_2 (1-s)$.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
Je n'ai pas été clair :

$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n e^{-\pi (n+1/2)^2 t} = 0$

$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (n+1/2)^{-s}$ n'est pas une série de Dirichlet.

$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n |n+1/2|^{-s}= 0$

Maintenant comme $\chi(-1) = -1$ l'équation fonctionnelle de $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (n+1/2)^{-s}= 2^s L(s,\chi)$ se montre en appliquant la formule sommatoire de Poisson à $\sum_{n=-\infty}^\infty \chi(n) n e^{-\pi n^2 t} = \sum_{n=-\infty}^\infty \chi(n) n f(t^{1/2} n)$ où $f(x) = x e^{-\pi x^2}= i \hat{f}(x)$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
On a $\xi_2 \neq 0$, $\theta_2 = \sum_{n\geq 0} (-1)^n \exp (- \pi (n+1/2)^2 t) \neq 0$ et $\xi_2 (s)= \xi_2 (1-s)$.
En fait, on a la formule suivante : $$ [\sum_{n \in \Z} \frac{\exp (2i \pi a(n+b))}{(n+b)^s}] \frac {\Gamma (s/2)}{\pi^{s/2}}=[\sum_{n \in \Z} \frac {\exp( 2i \pi nb)}{(n-a)^{1-s}}] \frac {\Gamma ((1-s)/2)}{\pi^{(1-s)/2}}$$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par GrothLeTroll.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
GrothLeTroll : ça t'arrive de lire les réponses, t'as compris ce que j'ai expliqué ?
On ne peut rien faire avec $\sum_{n \ge 0} (-1)^n e^{-\pi (n+1/2)^2 t}$ car c'est une fonction theta incomplète.

Pour montrer l'équation fonctionnelle de $\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty (n+a)^{-s}$ pars de $\sum_{n=-\infty}^\infty (e^{2i \pi n a}+e^{2i \pi n (1-a)}) e^{-\pi n^2 t}$
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
@reuns
Juste une petite question (tu connais mon infirmité analytique). Dans ton post [www.les-mathematiques.net], tu mentionnes une valeur absolue, disons :
$$
u_n(s) = { (-1)^n \over | n + 1/2 | ^s}
$$
Alors $u_n(s) + u_{-n-1}(s) = 0$. Mais dans le premier post de G. il n'y a pas de valeur absolue. Quid ?

Peut-être un pointeur (??) sur Apostol (On the Lerch zeta function) in [projecteuclid.org]. Paramètres : $x=1/2$ et $a = 1/2$, non ?
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
Oui je m'étais un peu embrouillé. Je te refais le topo général :

$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (n+1/2)^{-s} = (1-(-1)^{-s})2^s \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (2n+1)^{-s}= (1-(-1)^{-s})2^s L(s,\chi)$ où $\chi$ est le caractère de Dirichlet non-trivial modulo $4$. Comme $\chi(-1) = -1$ (caractère impair) on n'utilise pas $\int_0^\infty x^{s/2-1} e^{-\pi n^2 x}dx =n^{-s}\pi^{-s/2} \Gamma(s/2)$ comme pour $\zeta(s)$ mais à la place $$\int_0^\infty x^{(s+1)/2-1} n e^{-\pi n^2 x}dx = n^{-s} \pi^{-(s+1)/2} \Gamma((s+1)/2)$$ ce qui permet d'écrire
$$ \pi^{-(s+1)/2} \Gamma((s+1)/2) L(s,\chi) = \int_0^\infty x^{(s+1)/2-1} \Theta(x)dx$$ où la fonction theta est modulaire grâce à la formule sommatoire de Poisson $$\Theta(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \chi(n) n e^{-\pi n^2 x} = \frac{x^{-1/2}}2 \sum_{n=-\infty}^\infty (e^{2i\pi n/4}-e^{2i\pi 3 n/4}) f(x^{1/2} n)\\= \frac{x^{-1}}2 \sum_{n=-\infty}^\infty \widehat{f}( x^{-1/2}(n-1/4))-\widehat{f}( x^{-1/2}(n-3/4))= C x^{-1/2} \Theta(1/x)$$
où $ f(t) = t e^{-\pi t^2}$ de transformée de Fourier $ \widehat{f}(t) = -it e^{-\pi t^2}$, dont on obtient l'équation fonctionnelle pour $L(s,\chi)$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
Et donc $n \mapsto \chi(n)$ est un caractère de Dirichlet,
et si on regarde à la place $n \mapsto n\chi(n)$ alors c'est un caractère trivial sur $\mathbb{Z}^\times$
et donc $(n) \mapsto n\chi(n) $ est un caractère de Hecke, qui est bien défini sur les idéaux de $\mathbb{Z}$ et qu'on peut s'amuser à voir comme un caractère de $\mathbb{A}_\mathbb{Q}^\times$ défini comme $\psi = \prod_{v\le \infty} \psi_v$ où ....



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
.... donc le caractère sur $\mathbb{A}_\mathbb{Q}^\times$ c'est $\psi = \prod_{v\le \infty} \psi_v$ où $\psi_p(a) =|a|_p^{-1} \chi(p)^{v_p(a)}$ pour $a \in \mathbb{Q}_p^*$ et $\psi_\infty(a) = |a|_\infty$ pour $a \in \mathbb{Q}_\infty^*=\mathbb{R}^*$.

On peut aussi regarder le caractère de Hecke $n \mapsto \text{sign}(n) \chi(n)$ donc $\Psi = \prod_{v\le \infty} \Psi_v$ où $\Psi_p(a) = \chi(p^{v_p(a)})$ pour $a \in \mathbb{Q}_p^*$ et $\Psi_\infty(a) = \text{sign}(a)$ pour $a \in \mathbb{Q}_\infty^*=\mathbb{R}^*$.

L'utilité c'est qu'on a directement $$\pi^{-(s+1)/2} \Gamma((s+1)/2) L(s,\psi) = \int_{\mathbb{A}_\mathbb{Q}^\times} \varphi(a)\psi(a)|a|^{s+1} d^\times a = \prod_{v\le \infty} \int_{\mathbb{Q}_v^*} \varphi(a)\psi(a)|a|^{s+1} d^\times a$$ où $\varphi(a) = |a_\infty| e^{-\pi |a_\infty|^2} \prod_p 1_{|a|_p \le 1}$ est une fonction "Schwartz" sur $\mathbb{A}_\mathbb{Q}^\times$ et qui est sa propre "transformée de Fourier" ie. ça donne directement l'équation fonctionnelle par l'analyse harmonique sur le groupe localement compact $\mathbb{A}_\mathbb{Q}^\times$ (c'est la thèse de Tate)
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
@reuns
Pour l'instant (et peut-être pour longtemps), je suis trop loin pour piger. Ce que j'ai cru comprendre (de la doc de magma) : une $L$-série sympathique possède une dimension $d$, un conducteur, $d$ $\Gamma$-shifts $\lambda_1, \cdots, \lambda_d$, un poids, un signe (et certainement d'autres attributs). Et, avec les notations de la doc, en posant :
$$
L^\star(s) = \left( {\text{conducteur} \over \pi^d}\right)^{s/2} \times \prod_{i=1}^d \Gamma\Bigl( {s + \lambda_i \over 2}\Bigr) \times L(s) \qquad\qquad (\star)
$$
Et c'est $L^\star$ qui vérifie l'équation fonctionnelle :
$$
L^\star(s) = \text{signe} \times \overline L^\star(\text{weight} - s)
$$
Par exemple, étant donné un discriminant quadratique fondamental $D < 0$ et
$$
L_D (s) = \sum_{n \ge 1} {\chi_D(n) \over n^s}
$$
alors la dimension est $d=1$, le conducteur vaut $|D|$, le signe est 1, et le $\Gamma$-shift est réduit à $1$. Et souvent, les auteurs introduisent :
$$
\Lambda_D(s) =
\left( {|D| \over \pi}\right)^{(s+1)/2} \times \Gamma\Bigl( {s + 1 \over 2}\Bigr) \times L_D(s) \qquad\qquad (\star')
$$
qui vérifie $\Lambda_D(1-s) = \Lambda_D(s)$. Tu noteras une petite différence entre $(\star)$ et $(\star')$ concernant le premier exposant mais cela introduit juste un facteur multiplicatif (indépendant de $s$ !!). Idem d'ailleurs pour la fonction $\zeta_K$ de Dedekind d'un corps de nombres $K$ : la fonction construite à partir de $\zeta_K$ qui vérifie l'équation fonctionnelle (de Dedekind) diffère selon les auteurs (à une constante multiplicative près seulement !!).

Si j'ai bien compris, tu donnes les moyens qui conduisent à l'équation fonctionnelle attachée à $L_{\chi_{-4}}$ ?

Ci-dessous un petit exemple. J'ai du mal à comprendre pourquoi la $L$-série est ``mal renseignée'' en ce qui concerne son signe : l'algorithme qui élabore la $L$-série à partir du caractère de Dirichlet devrait quand même connaitre la vie ! Du coup, il faut réaliser le forcing CheckFunc.. de manière à ce que la $L$-série s'auto-corrige. Bizarre. Je ne sais pas ce qu'est le expfactor.


> chi4 := KroneckerCharacter(-4) ;
> Lchi4 := LSeries(chi4) ;
> Conductor(Lchi4) ;
4
> GammaFactors(Lchi4) ;
[ 1 ]
> // 7-uple : <weight, gamma-shifts, conductor, Euler-factors-computation, sign, L^*-poles, L^*-residues> 
> LSeriesData(Lchi4) ; 
<1, [ 1 ], 4, function(n [ Precision ]) ... end function, 0, [], []>    <- CHAMP SIGNE = 0 signifie ``je suis ignorante''
> // <1, [ 1 ], 4, function(n [ Precision ]) ... end function, 0, [], []>
> Sign(Lchi4) ;  <----------- A METTRE A JOUR
0
> // CheckF.. : en principe 0 en retour (si tout va bien)
> CheckFunctionalEquation(Lchi4) ;
0.000000000000000000000000000000
> Sign(Lchi4) ;   <----------- MIS A JOUR             
1.0000000000000000000
> LSeriesData(Lchi4) ; 
<1, [ 1 ], 4, function(n [ Precision ]) ... end function, 1.00000000000000000, [], []>  <- L'INFORMATION A CHANGE
> Lchi4`expfactor ;
1.12837916709551257389615890312154517168810125865799771368817




Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
J'ai lu la doc et je n'ai pas compris comment et pourquoi magma utilise l'équation fonctionnelle d'une fonction L.

La seule chose que je peux dire c'est que si $F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ (qui converge seulement pour $\Re(s)$ suffisamment grand) vient d'une forme modulaire de poids $k$ pour $\Gamma_0(n)$, donc $(s-k) F(s)$ est entière et $F(s)$ a une équation fonctionnelle $\Lambda(s) = \Gamma(s) (2\pi)^{-s} q^s F(s) = \varepsilon \Lambda(k-s)$ (avec un seul facteur gamma) alors
$$\Lambda(s) = \int_0^\infty x^{s-1} (f(ix)-C)dx = \frac{C}{s-k}+\frac{C}{-s} + \int_1^\infty (x^{s-1}+\varepsilon x^{k-s-1}) (f(ix)-C)dx, \qquad f(z) = C+\sum_{n=1}^\infty a_n e^{2 i \pi n z}$$
Où la dernière intégrale permet d'approximer $F(s)$ pour tout $s \in \mathbb{C}$ et beaucoup d'autres choses juste à partir des premiers coefficients $a_n$.

Lorsqu'il y a plusieurs facteurs gamma dans l'équation fonctionnelle c'est plus compliqué mais l'idée est similaire.
Donc si magma suppose toutes les conjectures de Langlands alors une équation fonctionnelle implique que $F$ vient d'une forme automorphe et donc on peut approximer beaucoup de propriétés de $F$ juste à partir des premiers coefficients (valeur aux entiers négatifs, trouver les premiers zéros non-triviaux, etc..)

Et dans tous les cas, plus $\Im(s)$ est grand plus il faut de coefficients de $F$ pour approximer $F(s)$.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
1) Qu'en est-il du problème initial ? J'ai du mal à comprendre. L'initiateur du fil définit une certaine fonction $F(s) = \text{ peu-importe}$, pose $G(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) F(s)$ et annonce l'équation fonctionnelle $G(1 - s) = G(s)$.

Toi, Reuns, il me semble que tu contestes. Vrai, faux ?

Moi, naïf que je suis dans ce domaine, je me dis ``$G(1-s) = G(s)$ : oui et alors ? Et si c'est vrai, cela ``sert à quoi ?''


@reuns Une coquille dans ton dernier post : il s'agit de ``forme modulaire de poids $k$ pour $\Gamma_0(q)$ et pas $\Gamma_0(n)$. Car on voit plus loin $q$ (le niveau, le conducteur) qui intervient dans l'équation fonctionnelle.

2) A propos de $L^\star$ dans mon post [www.les-mathematiques.net]. Pour moi, en ce qui concerne les $L$-séries qualifiées de sympathiques par mézigue (j'ai oublié de parler de l'attribut $p$-Euler facteur car lorsque l'on est sympathique, on est multiplicatif avec un $p$-Euler facteur), cette définition de $L^\star$ permet d'unifier les traitements de l'équation fonctionnelle.

Je prends l'exemple d'une courbe elliptique rationnelle $E$. Elle possède une $L$-série que je note $L_E$. Eh bien, $L_E$ a une dimension (ou degré) $d$ qui est $d = 2$ (ce 2 provient de $2g$ avec $g=1$), donc deux $\Gamma$-shifts qui sont $0,1$, un conducteur $N$ qui est un entier $\ge 1$ (c'est le conducteur de la courbe elliptique), un signe (root-number) $\varepsilon = \pm 1$, un poids (weight) qui est 2. Et $L^\star$ vaut, selon le moule général :
$$
L^\star(s) = \left( {N \over \pi^2}\right)^{s/2} \ \Gamma\Bigl( { s \over 2} \Bigr) \ \Gamma\Bigl( { s+1 \over 2} \Bigr) \ L_E(s)
$$
Et l'équation fonctionnelle est $L^\star(s) = \varepsilon L^\star(2 - s)$ (le $2$ est le 2 du poids). A comparer avec ce que l'on voit parfois
$$
\Lambda_E(s) = {N^{s\over 2} \over (2\pi)^s} \ \Gamma(s) \ L_E(s) , \qquad \qquad \Lambda_E(s) = \varepsilon \Lambda_E(2-s)
$$
Eh bien, c'est la même chose car :
$$
L^\star = \text {constante} \times \Lambda_E \qquad \text {constante} = 2 \times \pi^{1/2}
$$
Ce qui provient de la formule de duplication de Gamma (qu'évidemment j'ignorais vue mon inculture analytique) :
$$
{\Gamma(s) \over 2^s} = {1 \over 2} \pi^{-1 \over 2} \ \Gamma\Bigl( { s \over 2} \Bigr) \ \Gamma\Bigl( { s+1 \over 2} \Bigr)
$$

3) Exercice : soit $K/\Q$ un corps de nombres de degré $n$, de signature $r_1, r_2$ avec donc $r_1 + 2r_2 = n$. Alors $K$ possède une $L$-série $\zeta_K$ (de Dedekind), qui est de degré $n$, dont les $n$ shifts sont :
$$
(0^{r_1+r_2}, 1^{r_2}) = ( \overbrace {0, \cdots, 0}^{r_1+r_2}, \ \overbrace {1, \cdots, 1}^{r_2}\ )
$$
Le conducteur de $\zeta_K$ est la valeur absolue du discriminant de $K$, son poids est $1$ et enfin le signe est $1$
L'exercice consiste à comparer $L^\star$ pour $\zeta_K$, moule général, aux différentes versions $\Lambda_K(s)$ que l'on trouve dans les bons livres. Des constantes multiplicatives débarquent selon les auteurs.
Re: Une équation fonctionnelle
il y a sept semaines
Ce qui m'embête c'est que tu zappes tout le côté analyse de Fourier. La fonction zeta de Dedekind est compliquée par le fait qu'elle a plusieurs facteurs Gamma donc c'est une représentation automorphe de $GL_m$ et pas de $GL_2$ comme pour les formes modulaires, et que $\mathcal{O}_K^\times$ n'est pas un groupe fini (on doit donc quotienter par $\mathcal{O}_K^\times$, donc par une lattice multiplicative, alors que les fonctions theta sont faites pour les lattices additives).

Du côté analyse de Fourier ce dont tu as besoin c'est essentiellement que $$\theta_x(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi (t+n)^2 x} $$ est $C^\infty$ et $1$-périodique avec comme série de Fourier $$\theta_x(t)= \sum_{n=-\infty}^\infty c_x(n) e^{2i \pi n t}, \qquad \qquad c_x(n) = \int_0^1 \theta_x(t) e^{-2i \pi n t}dt = \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2 x} e^{-2i \pi n t}dt = x^{-1/2} e^{-\pi n^2/ x}$$ cette dernière égalité étant facile à montrer pour $2i \pi n$ réel en écrivant $\pi t^2+2i \pi n = \pi (t+i \sqrt{\pi} n)^2 - (i\sqrt{\pi} n)^2$ et en étendant à $2i \pi n$ complexe par prolongement analytique (aka l'un des outils les plus puissants en maths qui historiquement a permis de trouver $e^{i \pi} = -1$, le produit infini de $\sin t$, les fonctions elliptiques, les formes modulaires, l'équation de la chaleur et la transformée de Fourier, $\zeta(s)$, class field theory...)

C'est ce qu'on appelle la formule sommatoire de Poisson, qui donne donc $\theta_x(t) =\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2/ x} x^{-1/2} e^{2i \pi nt}$ dont on déduit l'équation fonctionnelle de $\zeta(s)$ ainsi que des fonctions L de Dirichlet avec $\chi(-1) =1$.

Si $\chi(-1) = -1$ on fait pareil en remplaçant $e^{-\pi t^2 x}$ par $t e^{- \pi t^2 x}$ et on utilise que si $\chi$ est primitif alors il est sa propre transformée de Fourier discrète : $ \chi(n) = \frac{G(\chi)}{q}\sum_{k=0}^{q-1} \overline{\chi(k)} e^{2i \pi nk/q}$.

Les Hecke eigenform et leurs généralisations "représentations automorphes irréductibles", donc les séries de Dirichlet avec équation fonctionnelle et produit eulérien, sont des objets mathématiques qui ont des propriétés analytiques, arithmétiques et algébriques extrêmement riches : multiplication du côté série de Dirichlet, multiplication du côté forme modulaire, description algébrique, moduli space de certaines variétés abéliennes, réduction modulo $p$, hypothèse de Riemann...



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