Critère d'Hermite sur les polynômes
dans Arithmétique
de permutation.
Bonjour, je me demandais si ce critère pouvait faire l'objet d'un développement d'agrégation pour par exemple les leçons "Racines d'un polynômes et fonctions symétriques élémentaires", "Corps finis" et éventuellement "Groupes des permutations d'un ensembles fini".
Il se trouve dans le livre de Mignotte "Algèbre concrète" et voici son énoncé : «Si $q=p^n$ avec $p$ premier alors $f\in \mathbb{F}_p[X]$ est une permutation de $\mathbb{F}_q$ si et seulement si les deux conditions qui suivent sont réalisées : $f$ a exactement une racine dans $\mathbb{F}_q$ et pour tout $t\in [\vert 1,q-2\vert ]$, $p$ ne divisant pas $t$ on a $\deg(f^t \pmod{(X^q-X)})\le q-2.$ »
Peut-être que la preuve n'est pas assez longue donc niveau timing ça peut être délicat, je ne sais pas.
Merci d'avance !.
Bonjour, je me demandais si ce critère pouvait faire l'objet d'un développement d'agrégation pour par exemple les leçons "Racines d'un polynômes et fonctions symétriques élémentaires", "Corps finis" et éventuellement "Groupes des permutations d'un ensembles fini".
Il se trouve dans le livre de Mignotte "Algèbre concrète" et voici son énoncé : «Si $q=p^n$ avec $p$ premier alors $f\in \mathbb{F}_p[X]$ est une permutation de $\mathbb{F}_q$ si et seulement si les deux conditions qui suivent sont réalisées : $f$ a exactement une racine dans $\mathbb{F}_q$ et pour tout $t\in [\vert 1,q-2\vert ]$, $p$ ne divisant pas $t$ on a $\deg(f^t \pmod{(X^q-X)})\le q-2.$ »
Peut-être que la preuve n'est pas assez longue donc niveau timing ça peut être délicat, je ne sais pas.
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Réponses
Ensuite c'est quoi ton argument pour lier le degré de $f \bmod x^q-x$ avec le fait que $f$ soit une bijection ?