Critère d'Hermite sur les polynômes
dans Arithmétique
de permutation.
Bonjour, je me demandais si ce critère pouvait faire l'objet d'un développement d'agrégation pour par exemple les leçons "Racines d'un polynômes et fonctions symétriques élémentaires", "Corps finis" et éventuellement "Groupes des permutations d'un ensembles fini".
Il se trouve dans le livre de Mignotte "Algèbre concrète" et voici son énoncé : «Si $q=p^n$ avec $p$ premier alors $f\in \mathbb{F}_p[X]$ est une permutation de $\mathbb{F}_q$ si et seulement si les deux conditions qui suivent sont réalisées : $f$ a exactement une racine dans $\mathbb{F}_q$ et pour tout $t\in [\vert 1,q-2\vert ]$, $p$ ne divisant pas $t$ on a $\deg(f^t \pmod{(X^q-X)})\le q-2.$ »
Peut-être que la preuve n'est pas assez longue donc niveau timing ça peut être délicat, je ne sais pas.
Merci d'avance !.
Bonjour, je me demandais si ce critère pouvait faire l'objet d'un développement d'agrégation pour par exemple les leçons "Racines d'un polynômes et fonctions symétriques élémentaires", "Corps finis" et éventuellement "Groupes des permutations d'un ensembles fini".
Il se trouve dans le livre de Mignotte "Algèbre concrète" et voici son énoncé : «Si $q=p^n$ avec $p$ premier alors $f\in \mathbb{F}_p[X]$ est une permutation de $\mathbb{F}_q$ si et seulement si les deux conditions qui suivent sont réalisées : $f$ a exactement une racine dans $\mathbb{F}_q$ et pour tout $t\in [\vert 1,q-2\vert ]$, $p$ ne divisant pas $t$ on a $\deg(f^t \pmod{(X^q-X)})\le q-2.$ »
Peut-être que la preuve n'est pas assez longue donc niveau timing ça peut être délicat, je ne sais pas.
Merci d'avance !.
Réponses
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La dénomination "Critère d'Hermine" est inconnue de Google.
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C'est Hermite
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Cela peut peut-être être intéressant si tu en dis un peu plus sur les applications... "concrètes" de ce résultat !
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Disons que la condition "$f$ a exactement une racine dans $\mathbb{F}_q$" ne me semble pas si triviale que cela à vérifier de façon effective. Mais le résultat caractérise les permutations polynomiales de $\mathbb{F}_q$ ce qui est intéressant en soi. C'est juste que vu le titre de la référence, on peut s'attendre à ce qu'il existe un côté effectif, voire une application "industrielle". Ce qui ne peut qu'enrichir un éventuel développement.
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Merci, je pense que cela pourrait être utile dans le domaine de la cryptographie mais bon...
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S'il y a des choses à dire elles sont peut-être présentes dans le livre de Mignotte (dont je ne dispose pas actuellement) ! Ça m'intéresse, soit dit en passant.
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Pour ce qui est du livre de Mignotte, ce critère est proposé en exercice sans commentaires particuliers dessus :-X
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Si $f \in \mathbb{F}_p[X]$ vue comme une fonction $a \mapsto f(a), \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q $ alors j'écris $f(x) = g(x) (x^q-x)+ \sum_{a\in \mathbb{F}_q} f(a) \frac{h_a(x)}{h_a(a)}$ où $h_a(x) = \frac{x^q-x}{x-a}$ et $g \in \mathbb{F}_q[x]$.
Ensuite c'est quoi ton argument pour lier le degré de $f \bmod x^q-x$ avec le fait que $f$ soit une bijection ?
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Bonjour!
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