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Critère d'Hermite sur les polynômes

Envoyé par M.Floquet 
Critère d'Hermite sur les polynômes
il y a sept semaines
de permutation.

Bonjour, je me demandais si ce critère pouvait faire l'objet d'un développement d'agrégation pour par exemple les leçons "Racines d'un polynômes et fonctions symétriques élémentaires", "Corps finis" et éventuellement "Groupes des permutations d'un ensembles fini".

Il se trouve dans le livre de Mignotte "Algèbre concrète" et voici son énoncé : «Si $q=p^n$ avec $p$ premier alors $f\in \mathbb{F}_p[X]$ est une permutation de $\mathbb{F}_q$ si et seulement si les deux conditions qui suivent sont réalisées : $f$ a exactement une racine dans $\mathbb{F}_q$ et pour tout $t\in [\vert 1,q-2\vert ]$, $p$ ne divisant pas $t$ on a $\deg(f^t \pmod{(X^q-X)})\le q-2.$ »

Peut-être que la preuve n'est pas assez longue donc niveau timing ça peut être délicat, je ne sais pas.

Merci d'avance !.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par M.Floquet.
Re: Critère d'Hermine sur les polynômes
il y a sept semaines
avatar
La dénomination "Critère d'Hermine" est inconnue de Google.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: Critère d'Hermine sur les polynômes
il y a sept semaines
C'est Hermite
Re: Critère d'Hermine sur les polynômes
il y a sept semaines
Cela peut peut-être être intéressant si tu en dis un peu plus sur les applications... "concrètes" de ce résultat !
Re: Critère d'Hermine sur les polynômes
il y a sept semaines
@skilveg : pardon j'ai modifié l'énoncé. Je vais essayer de trouver des applications concrètes car en effet si c'est juste un résultat pour faire joli ça ne sert pas à grand chose eye rolling smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par M.Floquet.
Re: Critère d'Hermine sur les polynômes
il y a sept semaines
Disons que la condition "$f$ a exactement une racine dans $\mathbb{F}_q$" ne me semble pas si triviale que cela à vérifier de façon effective. Mais le résultat caractérise les permutations polynomiales de $\mathbb{F}_q$ ce qui est intéressant en soi. C'est juste que vu le titre de la référence, on peut s'attendre à ce qu'il existe un côté effectif, voire une application "industrielle". Ce qui ne peut qu'enrichir un éventuel développement.
Re: Critère d'Hermite sur les polynômes
il y a sept semaines
Merci, je pense que cela pourrait être utile dans le domaine de la cryptographie mais bon...
Re: Critère d'Hermite sur les polynômes
il y a sept semaines
S'il y a des choses à dire elles sont peut-être présentes dans le livre de Mignotte (dont je ne dispose pas actuellement) ! Ça m'intéresse, soit dit en passant.
Re: Critère d'Hermite sur les polynômes
il y a six semaines
Pour ce qui est du livre de Mignotte, ce critère est proposé en exercice sans commentaires particuliers dessus angry smiley
Re: Critère d'Hermite sur les polynômes
il y a six semaines
Si $f \in \mathbb{F}_p[X]$ vue comme une fonction $a \mapsto f(a), \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q $ alors j'écris $f(x) = g(x) (x^q-x)+ \sum_{a\in \mathbb{F}_q} f(a) \frac{h_a(x)}{h_a(a)}$ où $h_a(x) = \frac{x^q-x}{x-a}$ et $g \in \mathbb{F}_q[x]$.

Ensuite c'est quoi ton argument pour lier le degré de $f \bmod x^q-x$ avec le fait que $f$ soit une bijection ?
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