Résidus quadratiques et racines primitives
dans Arithmétique
Bonjour,
J'aimerais savoir si les deux affirmations suivantes sont exactes :
Soit $p$ un nombre premier impair.
1) Si $a$ est un résidu quadratique modulo $p$, alors $a$ n'est pas une racine primitive modulo $p$.
2) Si $a$ est une racine primitive modulo $p$, alors $a$ n'est pas un résidu quadratique modulo $p$.
Merci d'avance.
J'aimerais savoir si les deux affirmations suivantes sont exactes :
Soit $p$ un nombre premier impair.
1) Si $a$ est un résidu quadratique modulo $p$, alors $a$ n'est pas une racine primitive modulo $p$.
2) Si $a$ est une racine primitive modulo $p$, alors $a$ n'est pas un résidu quadratique modulo $p$.
Merci d'avance.
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Réponses
J'utilise la notation de Gauss qui écrit dans son ouvrage "Recherches arithmétiques", Editions Jacques Gabay 1989, p. 40 :
"Nous nommerons, avec Euler, racines primitives les nombres qui appartiennent à l'exposant $p-1$."
(Je suppose qu'aujourd'hui on dirait : "...les nombres d'ordre $p-1$").
Et un peu plus bas, à la même page, il écrit :
"Par exemple, $2$ est une racine primitive suivant le module $19$."
Je pense qu'en termes d'algèbre abstraite cela revient à parler des générateurs du groupe des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
J'ignorais et ignore encore toujours qu'il y a une différence entre racine primitive modulo un entier strictement positif $m$ et racine primitive modulo l'unité.
Je ne sais pas ce qu'est une racine modulo l'unité.
J'ignore comment la théorie officielle démontre mes deux affirmations du message initial.
Personnellement, j'utilise le fait que, si l'on met tous les éléments de l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($p$ premier impair) sous la forme des puissances successives d'un générateur $\alpha$ ($\alpha^{1}, \alpha^{2}, \alpha^{3}, ... $) modulo $p$, ce qui est possible puisque les éléments inversibles de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ forment un groupe cyclique, alors :
- les résidus quadratiques verront $\alpha$ avoir un exposant pair,
- tandis que les racines primitives/les générateurs verront $\alpha$ avoir un exposant impair (dont $\alpha$ elle-même : $\alpha^{1}=\alpha$).