Résidus quadratiques et racines primitives

Sneg · October 2017

Bonjour,

J'aimerais savoir si les deux affirmations suivantes sont exactes :

Soit $p$ un nombre premier impair.

1) Si $a$ est un résidu quadratique modulo $p$, alors $a$ n'est pas une racine primitive modulo $p$.
2) Si $a$ est une racine primitive modulo $p$, alors $a$ n'est pas un résidu quadratique modulo $p$.

Merci d'avance.

Poirot · October 2017

Qu'est-ce que tu entends par racine primitive ? Si tu parles d'une racine primitive de l'unité c'est faux, ne serait-ce qu'avec $a=1$. Sinon, si ça veut dire "être un générateur du groupe multiplicatif $\mathbb F_p^{\times}$" alors ton affirmation (les deux sont équivalentes...) est exacte.

Sneg · October 2017

Bonjour, Poirot, et merci.

J'utilise la notation de Gauss qui écrit dans son ouvrage "Recherches arithmétiques", Editions Jacques Gabay 1989, p. 40 :
"Nous nommerons, avec Euler, racines primitives les nombres qui appartiennent à l'exposant $p-1$."

(Je suppose qu'aujourd'hui on dirait : "...les nombres d'ordre $p-1$").

Et un peu plus bas, à la même page, il écrit :
"Par exemple, $2$ est une racine primitive suivant le module $19$."

Je pense qu'en termes d'algèbre abstraite cela revient à parler des générateurs du groupe des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

J'ignorais et ignore encore toujours qu'il y a une différence entre racine primitive modulo un entier strictement positif $m$ et racine primitive modulo l'unité.

Sneg · October 2017

Je viens de voir sur Wikipédia ce qu'est une racine de l'unité.

Poirot · October 2017

Dans ce cas j'imagine qu'il s'agit d'éléments d'ordre $p-1$, et donc ce sont exactement les générateurs de $\mathbb F_p^{\times}$.

Je ne sais pas ce qu'est une racine modulo l'unité.

Sneg · October 2017

Pardon : "Une racine de l'unité".

J'ignore comment la théorie officielle démontre mes deux affirmations du message initial.

Personnellement, j'utilise le fait que, si l'on met tous les éléments de l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($p$ premier impair) sous la forme des puissances successives d'un générateur $\alpha$ ($\alpha^{1}, \alpha^{2}, \alpha^{3}, ... $) modulo $p$, ce qui est possible puisque les éléments inversibles de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ forment un groupe cyclique, alors :
- les résidus quadratiques verront $\alpha$ avoir un exposant pair,
- tandis que les racines primitives/les générateurs verront $\alpha$ avoir un exposant impair (dont $\alpha$ elle-même : $\alpha^{1}=\alpha$).

Sneg · October 2017

Rectification : "...si l'on met tous les éléments $\underline{inversibles}$ de l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$..."

Résidus quadratiques et racines primitives

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