Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
158 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Résidus quadratiques et racines primitives

Envoyé par Gil Bill 
Résidus quadratiques et racines primitives
il y a sept semaines
Bonjour,

J'aimerais savoir si les deux affirmations suivantes sont exactes :

Soit $p$ un nombre premier impair.

1) Si $a$ est un résidu quadratique modulo $p$, alors $a$ n'est pas une racine primitive modulo $p$.
2) Si $a$ est une racine primitive modulo $p$, alors $a$ n'est pas un résidu quadratique modulo $p$.

Merci d'avance.
Re: Résidus quadratiques et racines primitives
il y a sept semaines
Qu'est-ce que tu entends par racine primitive ? Si tu parles d'une racine primitive de l'unité c'est faux, ne serait-ce qu'avec $a=1$. Sinon, si ça veut dire "être un générateur du groupe multiplicatif $\mathbb F_p^{\times}$" alors ton affirmation (les deux sont équivalentes...) est exacte.
Re: Résidus quadratiques et racines primitives
il y a sept semaines
Bonjour, Poirot, et merci.

J'utilise la notation de Gauss qui écrit dans son ouvrage "Recherches arithmétiques", Editions Jacques Gabay 1989, p. 40 :
"Nous nommerons, avec Euler, racines primitives les nombres qui appartiennent à l'exposant $p-1$."

(Je suppose qu'aujourd'hui on dirait : "...les nombres d'ordre $p-1$").

Et un peu plus bas, à la même page, il écrit :
"Par exemple, $2$ est une racine primitive suivant le module $19$."

Je pense qu'en termes d'algèbre abstraite cela revient à parler des générateurs du groupe des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

J'ignorais et ignore encore toujours qu'il y a une différence entre racine primitive modulo un entier strictement positif $m$ et racine primitive modulo l'unité.
Re: Résidus quadratiques et racines primitives
il y a sept semaines
Je viens de voir sur Wikipédia ce qu'est une racine de l'unité.
Re: Résidus quadratiques et racines primitives
il y a sept semaines
Dans ce cas j'imagine qu'il s'agit d'éléments d'ordre $p-1$, et donc ce sont exactement les générateurs de $\mathbb F_p^{\times}$.

Je ne sais pas ce qu'est une racine modulo l'unité.
Re: Résidus quadratiques et racines primitives
il y a sept semaines
Pardon : "Une racine de l'unité".

J'ignore comment la théorie officielle démontre mes deux affirmations du message initial.

Personnellement, j'utilise le fait que, si l'on met tous les éléments de l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($p$ premier impair) sous la forme des puissances successives d'un générateur $\alpha$ ($\alpha^{1}, \alpha^{2}, \alpha^{3}, ... $) modulo $p$, ce qui est possible puisque les éléments inversibles de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ forment un groupe cyclique, alors :
- les résidus quadratiques verront $\alpha$ avoir un exposant pair,
- tandis que les racines primitives/les générateurs verront $\alpha$ avoir un exposant impair (dont $\alpha$ elle-même : $\alpha^{1}=\alpha$).
Re: Résidus quadratiques et racines primitives
il y a sept semaines
Rectification : "...si l'on met tous les éléments $\underline{inversibles}$ de l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$..."
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 124 411, Messages: 1 187 997, Utilisateurs: 19 584.
Notre dernier utilisateur inscrit dh2718.


Ce forum
Discussions: 4 388, Messages: 52 453.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page