Zéros de la fonction de Davenport

Moussa2 · October 2017

Bonjour,
Dans les années trente Heilbronn et Davenport ont construit une série de Dirichlet qui satisfait une équation fonctionnelle du même type que la fonction zêta mais possède une infinité de zéros en dehors de la la droite x=1/2 (voir par exemple cet article qui rappelle la définition et quelques propriétés cette fonction: Zeros of the Davenport-Heilbronn Counterexample).
La question que je me pose est davantage liée aux espacement verticaux de ces zéros.
Suivent-ils une loi comme celle que Montgomery a conjecturé pour les zéros non triviaux de zêta (voir ce lien)?
Merci pour vos avis et toute référence éventuelle.

noix de totos · October 2017

Je suppose que, pour parler d'espacements verticaux, tu considères ceux appartenant à la même droite verticale.

À ma connaissance, on n'a pas d'info similaire à la corrélation que l'on peut conjecturer sur les zéros de $\zeta$. Si $N(\sigma,T)$ désigne le nombre de zéros dans la région $\mathrm{Re} \, s \geqslant \sigma$ et $\mathrm{Im} \, s \in \left [ 0,T \right]$ et si $N_0(T)$ désigne le nombre de zéros sur la droite critique tels que $\mathrm{Im} \, s \in \left [ 0,T \right]$, alors

(i) Si $ \frac{1}{2} < \sigma_1 < \sigma_2 < 1$, alors $N(\sigma_2,T) - N(\sigma_1,T) \gg_{\sigma_i} T$.

(ii) $N_0(T) \gg T^{1/2+1/16-o(1)}$.

Moussa2 · October 2017

Merci noix de totos mais je pensais cependant bien aux espacements verticaux relatifs des zéros de la fonction de Davenport (appelons la $\zeta_D$) qu'ils soient ou non sur la droite critique. Il peut y avoir plusieurs zéros disctincts avec la même partie imaginaire.
Je considère donc l'ensemble des zéros complexes de $\zeta_D$ notés $\rho$ et cherche à savoir si les valeurs distinctes des $\Im(\rho)$ satisfont à la loi de Montgomery.