Somme puissances consécutives

J'ai toujours trouvé étonnant la relation...

$\sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{n+1} - 1$

Interessé, je l'ai démontrée par récurrence puis pour n'importe quel entier $q$. Finalement on arrive à une identité remarquable connue qui lie la somme des termes d'une suite géométrique:

$\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$

En remettant les termes du bon côté

$1 + (q - 1) \sum_{k=0}^{n} q^k = q^{n+1}$

Le '1' me gênait.. Quel est sa signification ? Quand on analyse, on remarque que:
Facilement vérifiable pour $q=2$

$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (q-1)\sum_{k=1}^{n} q^{-k} = 1$

Sans démonstration détaillée, j'ai de sérieux doutes sur la véracité de cet énoncé... Ma question est, cela est-il exact ? Si oui, pourquoi cela ne marche que quand $|q| > 1$ ? Sinon la somme diverge vers $+\infty$.

Cependant, si l'assertion est juste, on peut donc réécrire la relation précédente

$(q-1)\sum_{k=1}^{+\infty} q^{-k} + (q - 1) \sum_{k=0}^{n} q^k = q^{n+1}$

$(q-1)\sum_{k=0}^{+\infty} q^{n-k} = q^{n+1}$

Voilà une relation que je trouve élégante 8-)
Une puissance est entièrement déterminée par la somme infinie des puissances précédentes...

Cette relation a-t-elle un nom ?