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Somme puissances consécutives

Envoyé par rafoudiablol 
Somme puissances consécutives
il y a six semaines
J'ai toujours trouvé étonnant la relation...

$\sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{n+1} - 1$

Interessé, je l'ai démontrée par récurrence puis pour n'importe quel entier $q$. Finalement on arrive à une identité remarquable connue qui lie la somme des termes d'une suite géométrique:

$\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$

En remettant les termes du bon côté

$1 + (q - 1) \sum_{k=0}^{n} q^k = q^{n+1}$

Le '1' me gênait.. Quel est sa signification ? Quand on analyse, on remarque que:
Facilement vérifiable pour $q=2$

$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (q-1)\sum_{k=1}^{n} q^{-k} = 1$

Sans démonstration détaillée, j'ai de sérieux doutes sur la véracité de cet énoncé... Ma question est, cela est-il exact ? Si oui, pourquoi cela ne marche que quand $|q| > 1$ ? Sinon la somme diverge vers $+\infty$.

Cependant, si l'assertion est juste, on peut donc réécrire la relation précédente

$(q-1)\sum_{k=1}^{+\infty} q^{-k} + (q - 1) \sum_{k=0}^{n} q^k = q^{n+1}$

$(q-1)\sum_{k=0}^{+\infty} q^{n-k} = q^{n+1}$

Voilà une relation que je trouve élégante eye rolling smiley
Une puissance est entièrement déterminée par la somme infinie des puissances précédentes...

Cette relation a-t-elle un nom ? :)



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par rafoudiablol.
Re: Somme puissances consécutives
il y a cinq semaines
Le début est correct, jusqu'à tes histoires de limite. Le $1$ est là car la somme $$(q - 1) \sum_{k=0}^{n} q^k$$ se télescope (les termes s'annulent successivement deux à deux, sauf pour le premier et le dernier terme) pour donner $q^{n+1}-1$. Enfin bref, tout ça tourne un peu en rond.

Ensuite je ne comprends pas de quel énoncé tu parles. En tout cas la formule $$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (q-1)\sum_{k=1}^{n} q^{-n} = 1$$ est fausse, mais je pense que tu ne voulais pas écrire ça.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Poirot.
Re: Somme puissances consécutives
il y a cinq semaines
L'énoncé, c'est la formule des limites en elle-même
Je comprends le téléscopage...
Mais pour la limite, c'est bien ce que je voulais écrire:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \approx 1$

$\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} + \frac{2}{81} = \frac{80}{81} \approx 1$

$\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \frac{9}{10000} = \frac{9999}{10000} \approx 1$

Je ne comprends pas pourquoi c'est faux ?

Edit: j'ai corrigé la faute de frappe des $q^n$ à la place des $q^k$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par rafoudiablol.
Re: Somme puissances consécutives
il y a cinq semaines
Mais qu'est-ce qui est faux ?
Re: Somme puissances consécutives
il y a cinq semaines
Tu as dis que la formule des limites était fausse, mais je ne comprends pas pourquoi.
Il doit y avoir un moyen de la prouver ?

Par téléscopage, on voit que le terme tend vers $1 - q^{-n}$ donc vers 1



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par rafoudiablol.
Re: Somme puissances consécutives
il y a cinq semaines
La formule avec la limite n'avait aucune chance de fonctionner à cause du $q^{-n}$ au lieu de $q^{-k}$ dans la somme.

Pour en revenir à ton premier message, tu doutes de la véracité de quel énoncé ? Ce que tu racontes n'est pas clair.
Re: Somme puissances consécutives
il y a quatre semaines
C'est intéressant, n'est-ce pas ?
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