Répartition des nombres premiers
Je propose une nouvelle conjecture affirmant que si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à n*(n+2), pour tout entier n > 1, en (n+2) tranches de longueur n, on trouve alors au moins un nombre premier dans chacune des tranches.
Je suis convaincu de la véracité de cette conjecture car j'ai fait de nombreuses vérifications. La démonstration formelle se fait toujours attendre après d'innombrables essais. Ce message est donc une invitation aux intéressés d'essayer, par des méthodes innovantes, de faire cette démonstration.
La conjecture de Legendre est un cas particulier de cette nouvelle conjecture comme expliqué dans le fichier joint.
Je suis convaincu de la véracité de cette conjecture car j'ai fait de nombreuses vérifications. La démonstration formelle se fait toujours attendre après d'innombrables essais. Ce message est donc une invitation aux intéressés d'essayer, par des méthodes innovantes, de faire cette démonstration.
La conjecture de Legendre est un cas particulier de cette nouvelle conjecture comme expliqué dans le fichier joint.
Réponses
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Bonjour Monsieur Labrie,
ayant pris connaissance de votre document, prenons le cas n=4, dans les 4+2 = 6 tranches de longueur 4 de 1 à 4*(4+2) = 24, il y a 25-26-27-28 qui ne comporte aucun nombre premier ?
Ce qui invalide votre conjecture, non ?
Par contre il me semble possible de l'étendre à "on trouve alors au moins un nombre premier ou un nombre produit de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5".
Démonstration pour n>=4,
La tranche de longueur n est de la forme n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n.
Comme n>=4, n+1 peut prendre les valeurs 6k, 6k+/-1, 6k+/-2, 6k+/-3. Les nombres de la forme 6k+/-1 sont premiers ou produits de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5.
1) n+1 = 6k : dans ce cas n+2 nombre suivant dans l'intervalle est de la forme 6k+/-1 donc premier ou produit de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5.
2) n+1 = 6k+/-1, c'est n+1 qui est premier ou produit de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5.
3) n+1 = 6k+/-2, n+3 est de la forme 6k+/-1 dans l'intervalle et donc est premier ou produit de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5.
4) n+1 = 6k+/-3, n+4 est de la forme 6k+/-1 dans l'intervalle et donc est premier ou produit de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5.
Conclusion :
Si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à n*(n+2) pour tout entier supérieur ou égal à 4 en (n+2) tranches de longueur n, on trouve alors au moins un nombre premier ou produit de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5 dans chacune des tranches.
Cordialement -
Merci du commentaire. Ma conjecture est valide car la suite de 1 à 24 doit être découpée en (n+2) tranches de longueur n,donc en 6 tranches de tranches de longueur 4. Alors on a les tranches 1-2-3-4, 5-6-7-8, 8-10-11-12, 13-14-15-16, 17-18-19-20, 21-22-23-24. Dans chacune de ces tranches il y a au moins un premier.
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oops ! ben oui on s'arrête à 24, je ne sais pas comment j'ai pu continuer au delà, emporté par mon élan peut être ! Désolé pour cette erreur stupide.
que pensez vous de l'extension et de la démonstration proposée aux premiers et produits de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5 pour votre conjecture ? -
Juste une question idiote: il y a des nombres entiers qui ne sont pas produits de premiers?
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J'ai interprété en "produit d'exactement deux nombres premiers".
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Si c'est le cas le théorème de lc3t35 "Les nombres de la forme 6k+/-1 sont premiers ou produits de nombres premiers." est authentiquement révolutionnaire.
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Merci de le signaler @Shah d'ock : tous les nombres entiers sont le produit de nombres premiers
-> j'ai oublié une précision dans la proposition : pour k>=1, "Les nombres de la forme 6k+/-1 sont des nombres premiers ou des produits de nombres premiers supérieurs ou égaux à 5".
(le premier post a été corrigé en conséquence)
Autre précision : ce n'est pas - mon - théorème -
Ok.
Par contre : 6x21=6x3x7 mais peut-être voulais-tu remarquer autre chose dans ta décomposition de 126. -
Je pense qu'il voulait montrer que 127 s'écrit sous la forme 6k+1.
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Mea Culpa, en effet.
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Existe-t-il un contre-exemple qui invaliderait la conjecture mentionnée au début de cette discussion?
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Dans ma recherche pour un contre-exemple j'ai vérifié jusqu'à n=3000 sans rien trouver. Ceci ne veut pas dire qu'on trouverait pas pour n>3000 mais le nombre de premiers par tranche augmente de façon générale lorsque n augmente et ceci malgré la raréfaction des nombres premiers.
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Le fichier joint illustre pour les n+2 premières tranches de longueur n (n variant de 5 à 31 dans la colonne à l'extrême gauche du chiffrier) la présence de nombres premiers dans ces n+2 tranches. On peut voir qu'il y a au minimum un nombre premier par tranche. Les numéros de tranche apparaissent dans la ligne 2 du chiffrier.
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Afin de démontrer la conjecture énoncée au début de la présente discussion pourrait-on démontrer par l'absurde que l'énoncé suivant est faux? Si oui, quelle est la stratégie proposée?
"Soient n et j des entiers plus grands que 1. Alors il existe un couple (n,j) tel que le j ième segment, parmi tous les segments de longueur n, soit constitué de nombres composés seulement." -
Mais de quoi tu parles ? La conjecture de Legendre n'a pas été démontrée, même l'hypothèse de Riemann n'est pas assez forte.
Le but en théorie des nombres ce n'est PAS d'inventer de nouvelles conjectures, vraiment pas du tout.
Si le sujet t'intéresse, regarde les théorèmes de Chen sur les versions affaiblies avec semi-premiers. -
Avant de démontrer un théorème il faut avoir une idée de ce que l'on veut démontrer et si l'on a d'excellentes raisons de croire que cette idée est vraie alors c'est une conjecture aussi longtemps qu'elle n'est pas démontrée. Ainsi les conjectures précèdent les théorèmes et elles sont utiles parce qu'elles alimentent les recherches en vue d'aboutir à des théorèmes. À titre d'exemple pensons au postulat de Bertrand (1845) ensuite démontré par Tchebychev (1850), Ramanujan (1919) et Paul Erdos (1932)
Merci pour l'information concernant les théorèmes de Chen, je vais regarder cela de près. -
Mon but n'est pas d'inventer des conjectures pour elles-mêmes mais de trouver un nouveau théorème sur la répartition des nombres premiers, mais il est nécessaire de partir d'une conjecture.
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Oui c'est bien connu, et récemment la conjecture de Syracuse aussi ! Heureusement que le forum existe, sinon comment avancerait la recherche en maths dans le monde ?
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La conjecture de Syracuse aussi ? Je savais pas, je cherche en ce moment là dessus. Merci de l'info !
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Non, sérieusement @Poirot je viens de regarder ma boîte mail que je n'avais pas ouverte depuis longtemps. J'avais déposé ma démonstration de la conjecture de Legendre à ''Afrika Mathematica'' il y a plus d'un an ; là je vois qu'ils ont répondu le 19 de ce mois.
La démonstration a été rejetée. Dommage.
Donc la conjecture n'est pas démontrée que je sache comme a dit @reuns.
Merci pour votre intervention, ça m'a [permis] d'ouvrir cette boite mail. -
bab a écrit:La conjecture de Syracuse aussi ?
Oui, c'était à peu près à la même époque que tu as prouvé P=NP. -
Salut.
Je ne me rappelle même plus avoir prouvé P=NP. Comment j'avais raisonné stp @Shah d'Ock ?
Comme pour la conjecture de Legendre, il faudra que je relise mon raisonnement pour bien saisir là où ça cloche (le rejet ne contient aucun commentaire pour l'auteur et c'est dommage).
PS: je ne cherche qu'à comprendre ! -
Comme je te comprends! Moi aussi, à force de résoudre des problèmes du millénaires, je ne me souviens plus de toutes les conjectures mineures que j'ai démontré.
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Les problèmes du millénaire ! Y a que P = NP que j'ai cru comprendre, et c'est même pas sur ! Vraiment la pactole là et tout ce qui en suivra, ça ne m'intéresse pas du tout (sérieux !), je suis trop vieux aussi, trop habitué à la galère, pour aimer la popularité.
Si j'arrivais à contribuer à la marche en avant dans le domaine des maths, ça me suffirait largement.
Pour le moment...j'aime aborder les conjectures et..
Au plaisir de faire des maths !
Merci. -
Babgueye:
Tu as mille ans pour trouver les solutions (si personne ne trouve avant). -
Pour appuyer la conjecture énoncée au début de cette discussion, le fichier ci-joint contient la quantité minimale de nombres premiers pour les n+2 premières tranches de longueur n. Les résultats correspondent à la quantité minimale pour des valeurs de n variant de 2 à 3000.
On peut voir, à titre d'exemple, pour n=4 que les n+2=6 premières tranches de longueur 4 contiennent toujours au moins un nombre premier.
On vérifie rapidement que l'on a respectivement 2, 2, 1, 1, 2 et 1 nombre(s) premier(s) pour les tranches 1 à 4, 5 à 8, 9 à 12, 13 à 16, 17 à 20 et finalement de 21 à 24. Donc on a au moins un nombre premier dans chacune des 6 tranches.
On observe que la quantité minimale va en croissant de façon générale jusqu'à atteindre plus de 160 nombres premiers pour des tranches de l'ordre de 3000 de longueur . -
Salut.
Intéressant. Mais il y a des erreurs de frappe à rectifier.
Est ce que tu donnes le nombre de nombres premiers pour la dernière tranche ?
Cordialement. -
Je n'arrive pas à situer les erreurs de frappe, auriez-vous l'obligeance de me les signaler?
Pour chaque valeur de n je donne la quantité minimale de nombres premiers pour les n+2 premières tranches de longueur n. Ainsi dans l'exemple mentionné précédemment avec n=4 il y a des tranches avec 1 seul nombre premier, d'autres avec 2 nombres premiers. Mais au minimum on trouve 1 nombre premier pour chacune des 6 premières tranches.
N.B.:Je donne la quantité minimale pour les n+2 premières tranches seulement dans le but de vérifier ma conjecture qui affirme qu'il y a toujours au moins un nombre premier dans chacune de ces tranches. -
Salut.
Erreur de frappe: entre 5 et 8, il n'y a pas 3 nombres premiers.
Sinon le nombre minimal de nombres premiers dont tu parles ne serait ce pas tout simplement le nombre minimal de nombres premiers inférieurs à n(n+2) ? Tu trouves ce résultat intéressant (même par rapport à ta conjecture) ?
Cordialement. -
Merci Babsgueye, tu as raison il y avait une erreur de frappe. J'ai fais les corrections nécessaires dans mes 2 derniers messages
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babsgueye a écrit:Sinon le nombre minimal de nombres premiers dont tu parles ne serait ce pas tout simplement le nombre minimal de nombres premiers inférieurs à n(n+2) ? Tu trouves ce résultat intéressant (même par rapport à ta conjecture) ?
Ce n'est pas le nombre minimal de premiers avant n(n+2), mais le nombre de premiers trouvés dans la tranche où il y en a le moins. Pour l'exemple avec n=4 parmi les 6 premières tranches, celle qui en contient le moins en contient tout de même 1. Dans le fichier joint précédemment on peut voir, comme autre exemple, que pour n=15 la tranche qui contient le moins de nombres premiers en contient 2. -
Ok
Donc apparemment ta conjecture est vraie. Il faut maintenant penser à une démonstration.
Cordialement. -
Oui, il reste à en faire la démonstration. C'est pourquoi je faisais un appel à tous lors de l'ouverture de cette discussion car je travaille à cela depuis plusieurs années déjà, sans succès.
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Bonjour
juste une question, j'ai le souvenir d'un théorème qui dit que l'on peut trouver des gaps de n'importe quelle longueur dans la suite des nombres premiers ? (je crois même l'avoir fait en classe en spé il y a quelques années? ai-je trop bu ?)
Juste pour dire que si je ne m'abuse, la conjecture est morte...
F.D.
PS: don't feed the troll, certes, mais c'est clairement difficile de résister ! -
@FrançoisD : entre $k!+2$ et $k!+k$ il n'y a que des nombres composés.
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FrançoisD écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1554344,1604616#msg-1604616
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Oui, bien sûr, c'est connu que l'on peut toujours trouver une suite de nombres composés de n'importe quelle longueur mais ces suites arrivent toujours après n(n+2). Donc ça ne contredit pas la conjecture. -
Merci Poirot de me confirmer que je ne suis pas trop Aloysius et désolé pour A.D. qui passe son temps à corriger mes approximations syntaxiques,
@rlabrie: est-ce que vous avez conscience que ce que vous dîtes ne faire guère de sens en mathématiques? mais bon, si vous vous amusez, c'est important aussi...
Bien amicalement,
F.D. -
Je crois important d'illustrer ce que j'ai mentionné précédemment à l'effet que l'on peut trouver une suite de nombres composés de la longueur désirée mais que celle-ci arrive toujours après n(n+2) si n>5.
Rappelons que si n est premier et > 2 l'on peut obtenir une suite d'au moins n nombres composés qui débute avec le produit des nombres premiers <=n plus 2. Par exemple si n=7 on a une suite d'au moins 7 nombres composés qui débute avec 2*3*5*7+2=212. On vérifie effectivement que 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218 sont des nombres composés. Cette suite se prolonge d'ailleurs avec les nombres composés 219, 220, 221 et 222.
Cette suite de nombres composés arrivent plus loin que n(n+2)=7*9=63, donc la conjecture énoncée au départ de cette discussion reste vraie.
Il y a seulement lorsque n=3 ou 5 que la suite obtenue arrive avant n(n+2). Mais cela n'affecte pas la conjecture car ces suites chevauchent 2 tranches de nombres sans pouvoir en couvrir une totalement. -
Voici une illustration (voir graphe ci-joint) de la quantité de nombres premiers par tranche de n nombres consécutifs. Les trois séries de points correspondent à des valeurs de n égales à 1000, 2000 et 3000. Comme attendu, à cause de la raréfaction des nombres premiers on observe une diminution rapide de la quantité dans les premières tranches.
[Contenu du fichier pdf joint. AD] -
.rlabrie a écrit:Comme attendu, à cause de la
> raréfaction des nombres premiers on observe une
> diminution rapide de la quantité
Encore un théorème qui veut tout dire et rien dire... Sachant que les nombres premiers > 5 sont inclus dans les 26,66...% des entiers naturels, et que dans les 73,333....% des autres il n'y a que 3 nombres premiers [2;5], je ne vois pas l'intérêt de chercher un minimum de premiers > 5 en incluant les multiples de 2, 3 et 5 ...
Aussi loin que la limite N le permet il y aura toujours entre N et 2N : au minimum N / Ln 2N nombres premiers.
Lorsque que l'on calcule le rapport de nombres premiers par rapport à ce nombres d'entiers naturels N /3,75 ; la raréfaction n'est plus aussi évidente, et même mieux elle est de densité à peu près équivalente par famille d'entiers sur 8, contenant tous les nombres premiers > 5. -
Comme déjà mentionné on peut trouver de très grandes suites de nombres composés si l'on cherche suffisamment loin dans la suite des nombres naturels et ceci est une conséquence de la raréfaction des nombres premiers (diminution de la densité des nombres premiers parmi les nombres naturels lorsque l'on cherche de plus en plus loin).
-
J'ai poursuivi la validation de la conjecture énoncée au début de cette discussion jusqu'à n=4000 et les résultats apparaissent dans le graphique ci-joint. On trouve effectivement au moins un nombre premier dans chacune des n+2 premières tranches de longueur n.
On observe que le nombre de premiers par tranche croît de façon générale lorsque n augmente. Bien entendu ce n'est pas une démonstration de la conjecture mais ça assure que cette conjecture a un fondement solide.
La courbe "tranche no 1" correspond en fait à la fonction de compte des nombres premiers puisqu'elle donne pour chacune des valeurs de n la quantité de nombres premiers entre 1 et n.
La courbe "tranche no n+2" donne la quantité de nombres premiers de la tranche n+2. On observe la forme de comète de ces résultats. On comprend aussi que la quantité de nombres premiers par tranche soit moindre car cette tranche contient des nombres situés plus loin que ceux de la tranche numéro 1 et compte tenu de la raréfaction des nombres premiers ceux-ci sont moins nombreux.
La courbe "minimum des n+2 tranches" indique pour chacune des 4000 valeurs de n quelle est la plus petite quantité de nombres premiers contenus dans une des n+2 premières tranches. Il est intéressant d'observer que cette courbe est une quasi droite. -
Soit N, n et k des entiers plus grands que 1. Alors pour tout N il existe un seuil minimal k tel que pour n>=N, si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à n*(n+k) en n+k tranches de longueur n, on trouve toujours au moins un nombre premier dans chacune des tranches.
Pour illustrer cette conjecture prenons N=2 dont le seuil k associé est le nombre 2 (voir le fichier joint). Alors pour tout n>=N on a n+2 tranches de longueur n qui contiennent chacune au moins un nombre premier. Ainsi pour n=2 on a 2+2=4 tranches de longueur 2 contenant chacune un nombre premier. Cet exemple correspond à la première conjecture que je publiais en octobre 2017, qui était en fait un cas particulier de la conjecture généralisée décrite au paragraphe précédent.
Maintenant regardons le cas N=24 qui a comme seuil k le nombre 147. Alors pour tout n>=N on a n+147 tranches de longueur n. Si on prend n=30 ça implique que l’on 30+147=177 tranches de longueur 30, chacune contenant au moins un nombre premier.
Concernant cette conjecture généralisée, j'ai vérifié les 4002 premières tranches de longueur 1 à 4000 et on a effectivement toujours au moins un nombre premier pour chacune des tranches. Il est raisonnable de penser que si l’on poursuivait avec des valeurs de n supérieures à 4000 la conjecture demeurerait vraie puisque qu’en augmentant la valeur de n on allonge la longueur d’une tranche ce qui augmente les chances d’y trouver plus de nombres premiers. Bien que cette conjecture soit vérifiée par l’expérience, je suis toujours à la recherche d’une démonstration formelle.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD] -
Tu peux reformuler ainsi ta conjecture :
L'écart entre deux nombres premiers consécutifs plus petits que n(n+2) est strictement inférieur à n
Et on est alors très proche de la conjecture d'Oppermann :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_d'Oppermann
Donc oui, la conjecture est raisonnable, et non, tu ne trouvera pas de démonstration facilement (ça fait plus de 100 ans que des gens brillants planchent dessus) -
Tu as parfaitement raison Tryss la démonstration n'est pas facile car j'y travaille depuis plusieurs années sans succès.
Je voudrais souligner que la conjecture que je propose va plus loin que celle d'Oppermann. En effet, la conjecture d'Oppermann affirme qu'il y a au moins un nombre premier dans la n ième tranche de longueur n et au moins un autre premier dans la n+1 ième tranche de longueur n.Tandis que la conjecture que j'énonçais au début de cette discussion affirme qu'il a au moins un nombre premier dans chacune des n+2 premières tranches de longueur n. Ainsi si l'on découpe en tranches de longueur 100 on aura au moins un nombre premier dans chacune des 102 premières tranches. -
Au début de cette discussion j'affirmais que si on découpe la suite des entiers consécutifs de 1 à n*(n+2), pour tout entier n > 1, en (n+2) tranches de longueur n, on trouve alors au moins un nombre premier dans chacune des tranches.
J'ai poussé plus loin ma vérification et pour toutes les valeurs de n variant de 1 à 9510 je n'ai pas trouvé de contre-exemple. Ainsi pour la dernière valeur de n utilisée, j'ai vérifié les 9512 premières tranches de longueur 9510 et l'on a toujours au moins un nombre premier par tranche. En fait, dans ce dernier cas, la quantité minimum de nombres premiers trouvés parmi toutes ces tranches est de 474. La quantité maximum (qui est toujours dans la première tranche) est 1177.
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