Fractions rationnelles

mikess19731973 · November 2017

Bonjour chers amis,
Je viens de faire un exercice et là je me retrouve confronté a un petit souci.
Je voudrais passer a la decomposition dans C sans passer par R mais ma methode me parait trop longue.
Quelqu'un a t il une idée?
Merci beaucoup 69308

Nîmes-man · November 2017

Exercice : on suppose que $\lambda$ est un pôle simple de $\dfrac{A(X)}{B(X)}$.

La DES de $\dfrac{A(X)}{B(X)}$ est donc de la forme $\dfrac{A(X)}{B(X)} = \dfrac{\alpha}{X-\lambda}+G(X)$ où $\lambda$ n'est pas pôle de $G(X)$.

Montrer qu'on a $\alpha=\dfrac{A(\lambda)}{B'(\lambda)}$.

Application : la DES qui te pose souci (même si la méthode directe ne conduit pas à des calculs insurmontables non plus !).

gerard0 · November 2017

Bonjour Mikess.

* Pas de $X^2$ dans la valeur de a, qui est une constante.
* Pourquoi des - dans l'expression des racines de $X^4+1$ ? $e^{i\frac{\pi}4}$ est plus simple.
* Ces racines s'écrivent très simplement sous la forme a+ib, ce qui fait que ton expression finale, une fois corrigée, se calcule très bien.
* D'ailleurs, même sans ça, ces racines sont liées les unes aux autres par des relations simples, si $z$ est l'une d'entre elles, les autres sont $-z, \bar z, -\bar z$ comme leurs arguments le montrent bien.

Cordialement.

mikess19731973 · November 2017

Ah très bien gerard,je cherchai aussi à savoir si il n'y avait pas une autre méthode.
Merci à toi.

Chaurien · November 2017

Bien prendre en compte la remarque de Nîmes-man, que je me proposais de faire, et qui permet de simplifier les calculs dans le cas d'un pôle simple, par exemple ici. Et aussi surtout dans un cas général comme $\frac {x^m}{x^n+1}$.
Bonne journée.
Fr. Ch.

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