Critère(s) pour être un cube

Sneg · November 2017

Bonjour,

Grâce au critère d'Euler, on peut savoir si l'entier $a$, non multiple du nombre premier impair $p$ est un résidu quadratique - un "carré" - modulo $p$.

Existe-t-il un critère permettant de déterminer si $a$ est un "cube" modulo $p$, c'est-à-dire permettant de déterminer s'il existe un entier $x$ tel que $a\equiv x^{3}$ $(mod$ $p)$.

Merci d'avance.

moduloP · November 2017

Bonjour,

Si $p$ n'est pas congru à $1$ modulo $3$, il me semble que tous les éléments sont des cubes.

Si $p=1$ modulo 3, alors le groupe des cubes est l'unique sous-groupe de $F_p^*$ de cardinal ${p-1 \over 3}$. Et on peut le voir comme le noyau de $x \mapsto x^ {p-1 \over 3}$. Ce qui veut dire en clair que : $a$ modulo $p$ est un cube si et seulement si $a^{p-1 \over 3} = 1$. (bien sûr je prends $a \ne 0$).

Je pense que c'est la même chose que le critère d'Euler dont tu parles.

noix de totos · November 2017

Plus généralement, et dans l'extension de ce que dit moduloP, si $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$, $p$ premier et si on pose $d := \textrm{pgcd} \left( n,p-1 \right)$, alors un entier $a$ tel que $p \nmid a$ est une puissance $n$ème modulo $p$ si et seulement si $a^{(p-1)/d} \equiv 1 \pmod p$.