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Hypothèses de Riemann des formes modulaires

Envoyé par reuns 
Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a cinq semaines
  • Soit $\chi$ un caractère de Dirichlet primitif et non trivial. Alors $L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n) n^{-s}=\prod_p \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}$ est entière et RH pour $L(s,\chi)$ est vrai ssi $\lim_{K \to \infty}\sum_{p \le K} \chi(p)p^{-s}$ converge pour $\Re(s) >1/2$ ce qui donne : RH pour $L(s,\chi)$ ssi pour $\Re(s) > 1/2$, $$\lim_{K \to \infty} L(s,\chi 1_{(n,K!)=1})=\lim_{K \to \infty}L(s,\chi)\prod_{p \le K}(1-\chi(p)p^{-s}) =1$$ Note que ce critère marche aussi quand $\chi$ est non-primitif indépendamment des zéros sur $\Re(s) =0$ (et aussi quand $\chi$ est trivial donc quand $L(s,\chi)$ a un pôle en $s=1$, à condition de remplacer $1_{(n,K!)=1}$ par $\sum_{d | n, d \le K!}\mu(d)$).
  • Ensuite on regarde $F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} = \sum_{j=1}^l c_j L(s,\chi_j)$ une combinaison linéaire de fonctions L de Dirichlet entières et on pose $$F_K(s)=\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} 1_{(n,K!)=1}$$ On trouve que $\lim_{K \to \infty} F_K(s) = a_1$ converge pour $\Re(s) > 1/2$ ssi $F_K(s) = a_1+\mathcal{O}(K^{1/2+\epsilon-s})$ ssi pour un $\Re(s) > 3/2$, $F_K(s)-a_1 = \sum_{p \in (K,K^2)} a_p p^{-s}+\mathcal{O}(K^{2(1-s)})=\mathcal{O}(K^{1/2+\epsilon-s})$ ssi $\sum_p a_{p} p^{-s} = \sum_{j=1}^l c_j \log L(s,\chi_j)$ est analytique pour $\Re(s) > 1/2$.

    On a donc une hypothèse de Riemann pour les combinaisons linéaire de fonctions L de Dirichlet. $$ $$ Note qu'ici RH concerne l'analyticité de $\sum_p a_p p^{-s}$ pour $\Re(s) > 1/2$ et non pas les zéros de $F(s)$. $$ $$
  • Il est naturel de regarder ce qu'il se passe quand $F(s)=L(s,f)$ est la fonction L d'une forme modulaire $f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_n e^{2i \pi nz}$ de poids $1/2$ pour $\Gamma_0(N),\varepsilon$. En supposant que $|a_n| \le C$ on pose $$f_K(z) = \sum_{n=1}^\infty a_n e^{2i \pi n z}1_{(n,K!)=1}$$ alors RH est vrai pour $L(s,f) =\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ ssi $\sup_K |\int_0^1 f_K(ix)x^{s/2-1}dx| < \infty $ pour $\Re(s) > 1/2$ ssi quand $x\to 0, K \to \infty$ : $f_K(ix) = \mathcal{O}(x^{-1/4-\epsilon})$.

    Conjecture : cette forme d'hypothèse de Riemann est une conséquence directe de la modularité.

    Ces critères marchent pour n'importe quelle série de Fourier (pour lesquelles en général RH n'a aucune raison d'être vrai). Ce serait la condition $f(z)$ modulaire qui contraindrait $f_K(ix)$ à ne pas trop diverger au voisinage de $x=0$ quand $K \to \infty$ et qui impliquerait RH.$$ $$
  • Il est naturel d'essayer de généraliser ça aux formes modulaires de poids $\ne 1/2$. On y trouve les combinaisons linéaires de newforms (qui sont dans la classe de Selberg) pour lesquelles les mêmes critères pour RH fonctionnent à condition de remplacer $\Re(s)=1/2$ par $\Re(s) = k/2$,
    et des choses comme les séries d'Eisenstein $E_{k}(z) = a_0+\sum_{n=1}^\infty \sigma_{k-1}(n) e^{2i \pi nz}$ dont la fonction L est $L(s,E_{k})=\zeta(s)\zeta(s+k-1)$. Cette dernière a une forme un peu différente d'hypothèse de Riemann : ses zéros non-triviaux sont sur deux axes verticaux au lieu d'un seul. C'est probablement lié au fait que ses coefficients de Fourier $\sigma_{k-1}(n)$ sont $\mathcal{O}(n^{k-1+\epsilon})$ et pas $\mathcal{O}(n^{(k-1)/2})$ comme pour les newforms. On note aussi que $L(s,E_{k})$ n'a pas de zéros sur $\Re(s) > k-1/2$ ce qui suggère d'essayer des conjecture du style "si $f \in S_K(\Gamma_0(N),\varepsilon)$ alors $\lim_{K \to \infty} L(s,f_K)= a_1$ pour $\Re(s) > k-1/2$".

    J'ai également passé sous silence le fait que la forme modulaire associée à $L(s,\chi)$ était $\sum_{n=1}^\infty \chi(n) e^{2i \pi n^2 z}$ de poids $1/2$ ou $\sum_{n=1}^\infty n \chi(n) e^{2i \pi n^2 z}$ de poids $3/2$ selon $\chi(-1) =\pm 1$. Dans ce dernier cas le fait que $n \chi(n) \ne \mathcal{O}(1)$ doit être pris en compte pour adapter les critères précédents. Les coefficients de Fourier sont nuls pour $n \not \in \mathbb{Z}^2$ ce qui les différencie des autres formes modulaires et devrait avoir un impact sur la façon de conjecturer RH.

Quelle est la suite ? J'ai besoin d'aide pour continuer, regarder plus de formes modulaires et de fonctions L automorphes (avec plusieurs facteurs Gamma dans l'équation fonctionnelle) pour tester cette hypothèse "modularité $\implies$ RH".



Edité 11 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a cinq semaines
S'il y a des choses que ne vous trouvez pas claires ça m'intéresse aussi.
Re: Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a cinq semaines
Bonjour Reuns,

``Choses claires ou pas'' dans ton post ? Je ne sais si on peut parler en ces termes. Ton post s'adresse visiblement à des spécialistes (dont je ne fais pas partie) et seuls des spécialistes pourraient à mon avis te répondre.
Ben, pourquoi je poste alors (alors que je n'y connais rien) ? Je ne sais pas.

Je me dis que peut-être dans ton deuxième item sur les combinaisons de $L$-séries de Dirichlet, il y a une allusion à la fonction zeta de Davenport-Heilbronn, cf page 110 de [www.mathematik.uni-wuerzburg.de]. Je suppose que tu connais ce document de Steuding (An Introduction to the Theory of $L$-functions) ?
Re: Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a cinq semaines
Il y a une chose à savoir sur les twists de formes modulaires

Citation

Soit $f (z) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i \pi nz} \in M_k(\Gamma_0(q^2),\varepsilon)$ où $\varepsilon$ est un caractère de Dirichlet modulo $q$ ou $r |q$,

($f$ est analytique pour $\Im(z) >0$ et pour $\gamma = {\scriptstyle\begin{pmatrix}a & b\\ cq^2 & d \end{pmatrix}} \in \Gamma_0(q^2),\varepsilon(d) f(z)= f|_k \gamma(z) = (cq^2 z+d)^{-k} f(\frac{az+b}{cq^2 z+d}) $)

Pour $\chi$ un autre caractère de Dirichlet primitif modulo $q$ $\qquad\qquad$(ce qui assure que $\chi(n) = \frac{G(\chi)}{q} \sum_{m=1}^q \overline{\chi(m)} e^{2i \pi mn/q}$)
alors $$f^\chi(z) = \sum_{n=1}^\infty a_n \chi(n) e^{2i \pi nz}=\frac{G(\chi)}{q} \sum_{m=1}^q \overline{\chi(m)} f(z+\frac{m}{q}) \quad \text{est modulaire }\quad \in M_k(\Gamma_0(q^2), \varepsilon\chi^2)$$
Preuve : avec $T^{m/q} = {\scriptstyle\begin{pmatrix}1 & \frac{m}q\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$, pour $\gamma \in \Gamma_0(q^2)$ on trouve que $T^{m/q} \gamma T^{-d^2 m/q} =\gamma_m \in \Gamma_0(q^2)$ donc $$ f^\chi|_k \gamma(z) = \frac{G(\chi)}{q}\sum_{m=1}^q \overline{\chi(m)} f|_k T^{m/q} \gamma (z) =\frac{G(\chi)}{q} \sum_{m=1}^q \overline{\chi(m)} f|_k \gamma_m T^{d^2 m/q} (z)$$ $$= \frac{G(\chi)}{q} \sum_{m=1}^q \overline{\chi(m)} \varepsilon(d) f|_k T^{d^2 m/q} (z)=\varepsilon(d)\chi(d^2)\frac{G(\chi)}{q}\sum_{m=1}^q \overline{\chi(d^2 m)} f|_k T^{d^2 m/q} (z)= \varepsilon(d)\chi(d^2) f^\chi(z)$$

Ainsi pour $\chi$ un caractère primitif et pair modulo $q$ la fonction de Davenport $\alpha L(s,\chi)+ \overline{\alpha} L(s,\overline{\chi})$ est la transformée de Mellin de $g(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty (\alpha\chi(n)+\overline{\alpha\chi(n)}) e^{2i \pi n^2 z}$ qui est la somme de deux twists de $\sum_{n=-\infty}^\infty e^{2i \pi n^2 z} \in M_{1/2}(\Gamma_0(4))$ donc $g \in M_{1/2}(\Gamma_0(4\cdot q^2),\chi^2) \cap M_{1/2}(\Gamma_0(4\cdot q^2),\overline{\chi}^2) = M_{1/2}(\Gamma_1(4\cdot q^2))$

Et je n'avais pas ce cours, il essaye de dire quels résultats se généralisent facilement à quelles fonctions L et en donnant des références, donc oui il m'est utile.



Edité 12 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a cinq semaines
@Reuns
Tu vas constater l'étendue de mon ignorance.

1) Dans ton post précédent, il y a un diviseur $d$ de $q$ qui intervient au début. Rien à voir avec le coefficient $d$ qui intervient en position $(2,2)$ de la matrice $\gamma$ ?

2) RH késako ? Je veux dire dans le contexte des deux premiers itemps de ton PREMIER post. Tu dis ``On a donc une hypothèse de Riemann pour les combinaisons linéaires de fonctions L de Dirichlet''. Et tu ajoutes, si j'ai bien compris, que cela concerne l'analyticité de $\sum_p a_p p^{-s}$ alors que $F(s) = \sum_n a_n n^{-s}$.
Re: Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a cinq semaines
Montrer que $\sum_p a_p p^{-s}$ converge pour $\Re(s) > 1/2$ c'est équivalent à $\sum_{p \le x} a_p = \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon})$ qu'on peut améliorer en $\mathcal{O}(x^{1/2}\log^m x)$ sous certaines conditions. La théorie des fonctions L (la même méthode que pour le PNT) montre qu'il suffit de montrer l'analyticité du prolongement analytique pour que la série de Dirichlet converge (quand on suppose que $\sum_p a_p p^{-s}$ vient du logarithme de séries de Dirichlet avec prolongement analytique, donc est $\mathcal{O}(\log^m |\Im(s)|)$ sur chaque bande verticale de $\mathbb{C}$)

Quand il y a un pôle simple en $s=1$ il faut rajouter un terme $\text{Li}(x)$. RH pour toutes les fonctions L de Dirichlet c'est pareil que $\sum_{p \le x, p\equiv a \bmod q} 1 = \frac{1_{(a,q)=1}}{\phi(q)}\text{Li}(x)+\mathcal{O}(x^{1/2}\log^m x)$.

RH pour une newform de poids $12$ comme $\Delta(z)$ c'est $\sum_{p \le x} \frac{\tau(p)}{p^{11/2}} =\mathcal{O}(x^{1/2}\log^m x)$ dont l'utilité est déjà beaucoup moins claire.

Si $\sum_n a_n n^{-s}=\sum_{j=1}^l c_j L_j(s)$ est une combinaison linéaire de fonctions L (avec produits eulériens ce qui permet de regarder $\log L_j(s)$) et qu'on montre que $\sum_p a_p p^{-s}$ est analytique pour $\Re(s) > 1/2$ alors le prolongement analytique et les équation fonctionnelles donnent une formule explicite $\sum_{p^k \le x} a_{p^k} \log p = -\sum_{j=1}^l c_j \sum_{\beta,L_j(\beta)=0} \frac{x^\beta}{\beta}$



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a cinq semaines
@Reuns
Je vois que tu fais beaucoup d'efforts pour expliquer des choses. Mais ce domaine n'est pas pour moi : trop de conjectures dans tous les sens, où va-t-on ? ..etc... Là, je fais joujou car tu as fait une allusion à $\tau$ de Ramanujan où $\Delta$ est le discriminant modulaire :
$$
\Delta(q) = \sum_{n \ge 1} \tau(n) q^n
$$
C'est écrit quelque part qu'à partir de $\Delta$, on a une expression de $r_{24}(n)$ qui est le nombre de manières d'écrire $n$ comme une somme de 24 carrés. Concernant la définition de $r_{24}(n)$ :
$$
\sum_{n \ge 1} r_{24}(n) q^n := \left( \sum_{n \in \Z} q^{n^2} \right)^{24}
$$
i.e. il faut compter les 24-uplets $(x_1, \cdots, x_{24}) \in \Z^{24}$ tels que $n = x_1^2 + \cdots + x_{24}^2$.

On convient de $\tau(x) = 0$ si $x$ n'est pas un entier $\ge 1$. L'expression est la suivante :
$$
r_{24}(n) = {16 \sigma_{11}^\star(n) + 128 \big ( (-1)^{n-1} 259 \tau(n) - 512\tau(n/2)) \over 691}
\qquad \qquad (\heartsuit)
$$
où $\sigma_{11}^\star(n)$ est une variante de $\sigma_{11}(n)$, somme des puissances 11 des diviseurs de $n$ (je ne rentre pas dans les détails).

Je me suis dit : à tous les coups, il va y avoir, chez l'auteur, une coquille sur un signe ou je ne sais trop quoi. Eh bien, non ; du moins pour les tests que j'ai réalisés ($n \le 100$). Voici les $r_{24}(n)$

> R24 ;             
1 + 48*q + 1104*q^2 + 16192*q^3 + 170064*q^4 + 1362336*q^5 + 8662720*q^6 + 44981376*q^7 + 195082320*q^8 + 721175536*q^9 + 2319457632*q^10 + 
    6631997376*q^11 + 17231109824*q^12 + 41469483552*q^13 + 93703589760*q^14 + 200343312768*q^15 + 407488018512*q^16 + 793229226336*q^17 + 
    1487286966928*q^18 + 2697825744960*q^19 + 4744779429216*q^20 + 8110465650176*q^21 + 13523760003648*q^22 + 22063059606912*q^23 + 35250721087168*q^24 + 
    55204237463376*q^25 + 84944161233120*q^26 + 128716413627520*q^27 + 192127452262272*q^28 + 282507110257440*q^29 + 409984511707776*q^30 + 
    588326886375936*q^31 + 834658207381584*q^32 + 1170307866165504*q^33 + 1624411151609760*q^34 + 2235577234831104*q^35 + 3049176879087248*q^36 + 
    4119646755044256*q^37 + 5521413521657280*q^38 + 7351139283834752*q^39 + 9716572902143328*q^40 + 12742799887509216*q^41 + 16602533117608448*q^42 + 
    21517654506205632*q^43 + 27722595598191168*q^44 + 35479845906680352*q^45 + 45161271784187520*q^46 + 57242599902057216*q^47 + 72195482578935488*q^48 + 
    90531230898950064*q^49 + 113005551388237872*q^50 + 140577581041105536*q^51 + 174136781309317344*q^52 + 214623041906680992*q^53 + 
    263489617904713600*q^54 + 322575734927509632*q^55 + 393479775050411904*q^56 + 477823952534839040*q^57 + 578279579736061920*q^58 + 
    698254765677746880*q^59 + 840465901604416128*q^60 + 1007558483942335776*q^61 + 1204310270230998528*q^62 + 1436780611104904832*q^63 + 
    1709360761919617104*q^64 + 2026230454423939008*q^65 + 2395607113507280640*q^66 + 2827903926520931136*q^67 + 3330058109419788192*q^68 + 
    3908268659436390912*q^69 + 4576234456723484928*q^70 + 5351602023957373056*q^71 + 6244734635024375440*q^72 + 7264293802635839712*q^73 + 
    8432934609963473760*q^74 + 9779536667840774848*q^75 + 11318878100909407680*q^76 + 13062908900233370112*q^77 + 15047796258367085696*q^78 + 
    17319684851070915840*q^79 + 19899579752252061024*q^80 + 22802349400308638128*q^81 + 26084481435214183968*q^82 + 29819539398107307072*q^83 + 
    34035209833727738368*q^84 + 38748072985358209344*q^85 + 44046640437999712320*q^86 + 50044479792115954560*q^87 + 56775820930804107840*q^88 + 
    64258709626203556320*q^89 + 72627297897288755424*q^90 + 82053526986111910656*q^91 + 92580590196845364864*q^92 + 104221379743040927744*q^93 + 
    117175340918230037760*q^94 + 131704802221750273920*q^95 + 147856379253534842560*q^96 + 165626956557080594016*q^97 + 185317594513714571472*q^98 + 
    207315379661388004032*q^99 + 231661488924694883376*q^100 + O(q^101)
Re: Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a cinq semaines
Clairement pour montrer ce genre d'égalité il faut trouver une base de $M_{12}(\Gamma_0(4))$ où se situe $\sum_{n=0}^\infty r_{24}(n) e^{2i \pi nz} = \theta(z)^{24}$, montrer que le RHS est dans cet espace et calculer ses premiers coefficients.

Je vois ce genre d'identité comme une égalité entre une convolution additive ($r_{24}$ est la convolution additive de $1_{n \in \mathbb{Z}^2}$ avec elle-même $24$ fois) et d'une convolution multiplicative ($\sigma_{11} = 1 \ast n^{11}$, et en associant à $\Delta(z)$ une sous-variété $V$ de la Jacobienne de la courbe modulaire on doit pouvoir définir $\tau(n)$ d'une façon assez élémentaire à partir des idéaux de $\mathbb{Z}[V]$)

Mais au delà, ça reste assez magique pour moi. En particulier sans les "dimension formulas" pour les formes modulaires (donc Riemann-Roch pour les surfaces de Riemann) je n'ai aucune intuition sur pourquoi ça arrive.

A mon avis le cas le plus simple c'est celui qui dit que $\zeta_{\mathbb{Z}(i)}=L(s,\theta(z)^2)$ (plus ou moins tautologique quand on connait l'addition dans $\mathbb{Z}[$i$]$) est aussi $=4\zeta(s)L(s,\chi_4)$ (convolution multiplicative de $1$ et $\chi_4$, qui s'obtient à partir de la réciprocité quadratique pour $-1$ et de la multiplication dans le PID $\mathbb{Z}[$i$]$)

D'une manière générale, tu obtiens une infinité d'identités du même genre en utilisant que $\mathbb{C}[E_4,E_6]$ contient toutes les formes modulaires (de poids entier) pour $\Gamma_0(1)$ (une conséquence du fait que $\Delta(z)$ a un seul zéro simple en $i\infty$ ce qui donne que $f(z) \mapsto \frac{f(z)}{\Delta(z)}$ est un isomorphisme $S_{k+12}(\Gamma_0(1)) \to M_{k}(\Gamma_0(1)) $)
et que $\mathbb{C}[E_4,E_6,E_2(nz)]$ (ou un truc du genre) contient celles pour $\Gamma_0(N)$.

Une question qui m'intéresserait serait : soit $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i \pi nz} \in M_k(\Gamma_0(1))$ comment utiliser le fait que $f(z) = P(E_4(z),E_6(z))$ pour un certain polynôme $P \in \mathbb{C}[x,y]$ pour interpréter différemment $f_K(z) =\sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i \pi nz}1_{(n,K!)}$ et $f^\chi(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i \pi nz}\chi(n)$ (cette dernière étant $\in M_k(\Gamma_0((k!)^2),\chi^2)$ lorsque $\chi$ est un caractère primitif $\bmod k!$).



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Hypothèses de Riemann des formes modulaires
il y a dix huit heures
J'ai une formulation peut-être un peu plus claire de la question que je me pose :

On regarde $f(z) = \sum_{n=1}^\infty \chi_5(n) e^{2i \pi n^2 z} \in M_{1/2}(\Gamma_0(25),\chi_5^2)$ et $$f_k(z) = \sum_{n=1}^\infty \chi_5(n) e^{2i \pi n^2 z} 1_{(n,k!)=1} = \sum_{m=1}^{k!} \frac{X_k(m)}{k!} f(z+\frac{m}{k!})$$ où $X_k(m) = \sum_{n=1}^{k!} e^{-2i \pi nm/k!} 1_{(n,k!)=1}$ est la transformée de Fourier discrète de $1_{(n,k!)=1}$.

Alors $$\int_0^\infty x^{s/2-1} f_k(ix)dx = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) L(s,\chi_5) \prod_{p \le k} (1-\chi_5(p) p^{-s})$$
et RH pour $L(s,\chi_5)$ est vrai ssi $\lim_{k \to \infty} \int_0^\infty x^{s/2-1} f_k(ix)dx$ converge (vers $ =\pi^{-s/2} \Gamma(s/2) $) pour $\Re(s) > 1/2$.

Ensuite on regarde la même chose pour $$g(z) = \sum_{n=1}^\infty a(n) e^{2i \pi n^2 z}, \qquad g_k(z)= \sum_{m=1}^{k!} \frac{X_k(m)}{k!} g(z+\frac{m}{k!})$$ où $a(n)$ est n'importe quelle suite arbitraire bornée.
En général $g$ n'est pas une forme modulaire et $\lim_{k \to \infty} \int_0^\infty x^{s/2-1} g_k(ix)dx$ n'a aucune raison de converger au delà de $\Re(s) > 1$.

Mais que se passe-t-il si on simule la modularité de $g(z)$ en remplaçant dans $g_k(z)$ chaque occurrence de $g(z)$ par $\chi_5(d)^2(5cz+d)^{-1/2} g(\frac{az+b}{5cz+d})$ où $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^4,ad-5bc=1$ sont choisis comme on veut (les $a,b,c,d$ peuvent dépendre de $z$, de $m$..) ?

A mon avis, avec cette façon d'introduire formellement la modularité, on doit pouvoir au moins montrer le PNT : c'est à dire que pour certains choix de $a,b,c,d$, alors $\lim_{k \to \infty} \int_0^\infty x^{s/2-1} g_k(ix)dx$ converge pour $\Re(s) \ge 1$.




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