Racine de -1

Soit $p$ un nombre premier impair. La loi de réciprocité quadratique complémentaire pour le nombre premier $2$ dit :
$$
2^{p-1 \over 2} \bmod p = \left( {2 \over p} \right) = \cases {1 & si $p \equiv \pm 1 \bmod 8$\cr -1 & si $p \equiv \pm 3 \bmod 8$ \cr}
$$
Si tu regardes bien, en considérant le carré de $2^{p-1 \over 4} \bmod p$, cela apporte une réponse à ta question.

$8^2=64=5\times 13 -1$.

@Gill Bill
Oui pour la première partie de ton post. Mais je vais me permettre de reformuler la chose, ce qui rendra (à mon avis) plus limpide la seconde partie de ton post.

Utiliser la phrase ``Etre congru à une racine de $x^2 = -1 \bmod p$ ...etc..'' me semble inutilement compliqué, en tout cas pas très opérationnel d'un point de vue calculatoire. On peut dire la même chose de la manière suivante étant entendu, dans la suite de ces lignes que tout se passe modulo $p$, sans avoir à le redire à chaque ligne. Je suppose une fois pour toutes que $p \equiv \pm 3 \bmod 8$. Ce que tu dis (et que je dis) c'est qu'en posant $y = 2^{p-1 \over 4}$, alors $y^2 = -1$. Sous entendu modulo $p$ mais j'avais dit que je le ne redirai plus. Encadrons :
$$
\fbox {$y^2 = -1$}
$$
Il faut que tu penses au nombre complexe $i$ qui vérifie $i^2 = -1$. Et tu sais bien qu'alors $i^3 = -i$ et donc $(i^3)^2 = -1$ également. Et on n'en fait pas un fromage.

Et donc dans notre histoire modulo $p$, c'est pareil. Tu louches sur l'encadré, et tu vois que $y^3 = -y$ (sous entendu modulo $p$ mais C.Q. t'es lourd car tu avais dit ..). Et si $y^3 = -y$, c'est que le carré de $y^3$ vaut $-1$. Et c'est sûr que $y$ et $y^3$ ne sont pas égaux (modulo $p$, arg) car le premier c'est $y$ et le second $-y$. Et $y = -y$ dans ce monde modulo $p$, ce n'est possible que si $y = 0$ (modulo $p$).

J'espère que c'est clair. Et même si j'ai prévenu au début que tout se passait modulo $p$, je n'ai pas pu m'empêcher de ...

Un peu d'arithmétique dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[ i]$

$1+i= \zeta_8 \sqrt{2}$ où $\zeta_8 = e^{2i\pi/8}$ donc $$\zeta_8^p \sqrt{2} \Big(\frac{2}{p}\Big) ~\equiv~ \zeta_8^p \sqrt{2} 2^{(p-1)/2} ~\equiv~ \zeta_8^p \sqrt{2}^p ~\equiv~ (1+i)^p ~\equiv~ 1^p+i^p \bmod {p}$$ et le LHS et RHS s'analysent très facilement en terme de $p \bmod 8$.