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Racine de -1

Envoyé par Gil Bill 
Racine de -1
il y a cinq semaines
Bonjour,

Soit $p$ un nombre premier tel que $p-1$ soit divisible par $4$ mais pas par $8$.

J'aimerais savoir si $2^{\frac{p-1}{4}}$ est congru à l'une ou l'autre des racines de $x^2\equiv -1\pmod p$.

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Racine de -1
il y a cinq semaines
Soit $p$ un nombre premier impair. La loi de réciprocité quadratique complémentaire pour le nombre premier $2$ dit :
$$
2^{p-1 \over 2} \bmod p = \left( {2 \over p} \right) = \cases {1 & si $p \equiv \pm 1 \bmod 8$\cr -1 & si $p \equiv \pm 3 \bmod 8$ \cr}
$$
Si tu regardes bien, en considérant le carré de $2^{p-1 \over 4} \bmod p$, cela apporte une réponse à ta question.
Re: Racine de -1
il y a cinq semaines
avatar
Bonjour,

pour $p=13$, $x^2=-1 \mod(13)$ donne $x=5, 18, 31, 34, 44, 47, 57, ...$ et $2^{{p-1 \over 4}}=2^3 = 8$ n'est pas congru à ces valeurs... non ?
Re: Racine de -1
il y a cinq semaines
$8^2=64=5\times 13 -1$.
Re: Racine de -1
il y a cinq semaines
Merci à tous.

Claude quitté, si je comprends bien, en application de la loi de réciprocité quadratique complémentaire pour le nombre premier $2$, $2^{\tfrac{p-1}{4}}$ est congru à une racine de $x^2=-1\pmod p$ si $p$ est de la forme $8k+3$ ou $8k-3$ (pour tout entier naturel $k$).

Or, tout nombre premier $p$, tel que $p-1$ est divisible par $4$ mais pas par $8$, est de la forme $8k-3$.

Donc, la réponse à ma question initiale est "oui". C'est bien ça ?

Cela dit, il me vient une seconde question.
J'ai l'impression que l'on arrive à la même conclusion à propos de $2^{3\cdot \tfrac{p-1}{4}}$.
Comment s'assurer que $a=2^{\tfrac{p-1}{4}}$ et $b=2^{3\cdot \tfrac{p-1}{4}}$ ne sont pas congrus à la même racine de $x^2=-1$ ?
Autrement dit, comment s'assurer que l'on n'a pas $a=b$ ?
Parce que $a\cdot b\equiv 1\pmod p$, en vertu du petit théorème de Fermat, et que modulo $p$ les deux seuls éléments à être leur propre inverse sont $-1$ et $1$ qui ne peuvent être racine de $x^2=-1$ ?

J'espère être compréhensible.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Racine de -1
il y a cinq semaines
@Gill Bill
Oui pour la première partie de ton post. Mais je vais me permettre de reformuler la chose, ce qui rendra (à mon avis) plus limpide la seconde partie de ton post.

Utiliser la phrase ``Etre congru à une racine de $x^2 = -1 \bmod p$ ...etc..'' me semble inutilement compliqué, en tout cas pas très opérationnel d'un point de vue calculatoire. On peut dire la même chose de la manière suivante étant entendu, dans la suite de ces lignes que tout se passe modulo $p$, sans avoir à le redire à chaque ligne. Je suppose une fois pour toutes que $p \equiv \pm 3 \bmod 8$. Ce que tu dis (et que je dis) c'est qu'en posant $y = 2^{p-1 \over 4}$, alors $y^2 = -1$. Sous entendu modulo $p$ mais j'avais dit que je le ne redirai plus. Encadrons :
$$
\fbox {$y^2 = -1$}
$$
Il faut que tu penses au nombre complexe $i$ qui vérifie $i^2 = -1$. Et tu sais bien qu'alors $i^3 = -i$ et donc $(i^3)^2 = -1$ également. Et on n'en fait pas un fromage.

Et donc dans notre histoire modulo $p$, c'est pareil. Tu louches sur l'encadré, et tu vois que $y^3 = -y$ (sous entendu modulo $p$ mais C.Q. t'es lourd car tu avais dit ..). Et si $y^3 = -y$, c'est que le carré de $y^3$ vaut $-1$. Et c'est sûr que $y$ et $y^3$ ne sont pas égaux (modulo $p$, arg) car le premier c'est $y$ et le second $-y$. Et $y = -y$ dans ce monde modulo $p$, ce n'est possible que si $y = 0$ (modulo $p$).

J'espère que c'est clair. Et même si j'ai prévenu au début que tout se passait modulo $p$, je n'ai pas pu m'empêcher de ...
Re: Racine de -1
il y a cinq semaines
Tout cela est très clair et très instructif !

Un tout-tout grand merci, claude quitté !
Re: Racine de -1
il y a cinq semaines
Un peu d'arithmétique dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[ i]$

$1+i= \zeta_8 \sqrt{2}$ où $\zeta_8 = e^{2i\pi/8}$ donc $$\zeta_8^p \sqrt{2} \Big(\frac{2}{p}\Big) ~\equiv~ \zeta_8^p \sqrt{2} 2^{(p-1)/2} ~\equiv~ \zeta_8^p \sqrt{2}^p ~\equiv~ (1+i)^p ~\equiv~ 1^p+i^p \bmod {p}$$ et le LHS et RHS s'analysent très facilement en terme de $p \bmod 8$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
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