Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
202 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Différence de logarithmes népériens

Envoyé par qwerty31 
Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
Bonsoir à tous,

Je m'interroge sur le résultat d'une soustraction de logarithmes népériens avec des entiers naturels : $\ln(a)-\ln(b)$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*,\ a>b$. Je cherche à savoir lorsque cette différence est égale à un entier naturel. Il me semble (je n'en suis pas sûr) que $\ln(a),\ a\in \mathbb{N}^*$ est un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule (excepté pour le cas $a=1$, mais ça ne change rien vu que c'est égal à 0). Si c'est le cas, il me semble que cette soustraction ne sera donc jamais égale à un entier. Me tromperai-je ? Et si c'est le cas, que dois-je dire pour justifier que cette soustraction n'est pas égale à un nombre entier ? La justification "c'est un logarithme népérien" suffit-elle ou faut-il ajouter quelque chose ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
avatar
Etant donné que $ln(a)-ln(b)=ln(\frac{a}{b})$ et que $ln$ balaye tout $\R$, il y a forcément des reels $a$ et $b$ tels que $ln(a)-ln(b)=n$ pour tout $n$ même.
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
avatar
Pardon j'ai mal lu oublie ce que j'ai dit.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
avatar
Mais par contre cela revient à se demander s'il existe $a,b$ tels que $\dfrac{a}{b}=\exp(n)$, ce qui n'est pas le cas car $e$ est transcendant.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
J'ai bien précisé entiers naturels dans ma question smiling bouncing smiley c'est bien ça qui m'embête
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
Pardon que signifie $e$ transcendant ? confused smiley
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
avatar
En toute rigueur j'aurais du dire transcendant sur $\Q$. Ca veut dire qu'il n'existe pas de polynôme de $\Q [X]$ qui annule $e$
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
Dans $\Q$ ?
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
D'accord et je suppose que c'est démontré ?
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
avatar
@ModuloP

Je dis pas de bêtise si?

@qwerty31

Oui la transcendance de $e$ est démontrée mais ce n'est pas de la tarte! Démo
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
Wikipédia :
Citation
Wikipédia
Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers.
donc je ne sais pas s'il s'agit de $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$

En tout cas cela résout mon problème, merci beaucoup à toi !

Je vais jeter un coup d’œil à cette démo et je mets le sujet en résolu.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
Bah comme $a$ et $b$ sont des entiers, ça veut dire que le nombre $\exp n $ est rationnel.
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
Jolie démonstration ! Je pense que je vais attendre quelques années d'études supplémentaires avant de tenter de la comprendre en entier. eye popping smiley
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
avatar
Ah oui je sais pourquoi je crois! La définition d'un transcendant sur un corps $K$ c'est avec un polynôme de $K[X]$ mais dans le cas d'un polynôme de $\Q$, si tu le multiplies par le ppcm de ses coefficients tu obtiens un polynôme dans $\Z[X]$
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
avatar
un fil interessant [www.les-mathematiques.net]

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: différence de logarithme népérien [RÉSOLU]
il y a quatre semaines
En effet merci beaucoup gebrane
Re: différence de logarithme népérien
il y a quatre semaines
Prenons comme définition $
\exp= \sum_{k \in \N} \frac{1}{k!}
$
Prenons deux suites :
$$
C_n = \sum_{k =0}^n \frac{1}{k!} \qquad D_n = C_n+ \frac{1}{n!}
$$
Elles vérifient l'inégalité suivante : pour tout entier $n$
$$
C_n < e < D_n
$$
Pour la partie gauche, c'est évident avec la définition. Pour la partie droite ;
$$
\sum_{k =n+1}^\infty \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{(n+1)!} \sum_{k=0}^\infty n^{-k} = \frac{1}{(n+1)!} \frac{1}{1-{1\over n}} = \frac{1}{n!} \times \frac{n}{(n-1)(n+1)} < \frac{1}{n!}
$$

En particulier, si on suppose que $\exp$ est rationnel, disons $\frac{a}{b}$. Alors pour $n=b$ :
$$

$$$$
C_b < \frac{a}{b} < D_b
$$
Et multipliant par $b!$ : on a l'inégalité entière ;
$$
b! C_b < (b-1) ! a < b! C_b+1
$$
Qui est étrange si on pense que tout le monde est entier !
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
avatar
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
Je pense que c'est Euler mais je n'en suis pas certain !
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
avatar
@modulo P regarde ici
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
C'est une conséquence du théorème d'Hermite-Lindemann que $\log \alpha$ est transcendant pour $\alpha$ algébrique différent de $0$ et $1$. Donc en effet $\log a - \log b$ ne peut être entier à moins que $a=b$.
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
Merci : c'est donc bien Euler.
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
L'irrationalité de $e$ est due à Euler. Elle utilisait le développement en fraction continue de $e$. La preuve proposée ci-dessus est due à Fourier.
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
Mince, c'est l'idée de Fourier et non pas Euler. Merci Joaopa
Dom
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a quatre semaines
Une remarque qui peut sembler taquine :
Tous les nombres possèdent une écriture décimale telle qu'il existe un nombre infini de chiffres derrière la virgule.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 124 398, Messages: 1 187 864, Utilisateurs: 19 578.
Notre dernier utilisateur inscrit beki.


Ce forum
Discussions: 4 387, Messages: 52 442.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page