Différence de logarithmes népériens
dans Arithmétique
Bonsoir à tous,
Je m'interroge sur le résultat d'une soustraction de logarithmes népériens avec des entiers naturels : $\ln(a)-\ln(b)$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*,\ a>b$. Je cherche à savoir lorsque cette différence est égale à un entier naturel. Il me semble (je n'en suis pas sûr) que $\ln(a),\ a\in \mathbb{N}^*$ est un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule (excepté pour le cas $a=1$, mais ça ne change rien vu que c'est égal à 0). Si c'est le cas, il me semble que cette soustraction ne sera donc jamais égale à un entier. Me tromperai-je ? Et si c'est le cas, que dois-je dire pour justifier que cette soustraction n'est pas égale à un nombre entier ? La justification "c'est un logarithme népérien" suffit-elle ou faut-il ajouter quelque chose ?
Je m'interroge sur le résultat d'une soustraction de logarithmes népériens avec des entiers naturels : $\ln(a)-\ln(b)$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*,\ a>b$. Je cherche à savoir lorsque cette différence est égale à un entier naturel. Il me semble (je n'en suis pas sûr) que $\ln(a),\ a\in \mathbb{N}^*$ est un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule (excepté pour le cas $a=1$, mais ça ne change rien vu que c'est égal à 0). Si c'est le cas, il me semble que cette soustraction ne sera donc jamais égale à un entier. Me tromperai-je ? Et si c'est le cas, que dois-je dire pour justifier que cette soustraction n'est pas égale à un nombre entier ? La justification "c'est un logarithme népérien" suffit-elle ou faut-il ajouter quelque chose ?
Réponses
-
Etant donné que $ln(a)-ln(b)=ln(\frac{a}{b})$ et que $ln$ balaye tout $\R$, il y a forcément des reels $a$ et $b$ tels que $ln(a)-ln(b)=n$ pour tout $n$ même.
-
Pardon j'ai mal lu oublie ce que j'ai dit.
-
Mais par contre cela revient à se demander s'il existe $a,b$ tels que $\dfrac{a}{b}=\exp(n)$, ce qui n'est pas le cas car $e$ est transcendant.
-
J'ai bien précisé entiers naturels dans ma question (:D c'est bien ça qui m'embête
-
Pardon que signifie $e$ transcendant ? :-S
-
En toute rigueur j'aurais du dire transcendant sur $\Q$. Ca veut dire qu'il n'existe pas de polynôme de $\Q [X]$ qui annule $e$
-
Dans $\Q$ ?
-
D'accord et je suppose que c'est démontré ?
-
-
Wikipédia :
donc je ne sais pas s'il s'agit de $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$Wikipédia a écrit:Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers.
En tout cas cela résout mon problème, merci beaucoup à toi !
Je vais jeter un coup d’œil à cette démo et je mets le sujet en résolu. -
Bah comme $a$ et $b$ sont des entiers, ça veut dire que le nombre $\exp n $ est rationnel.
-
Jolie démonstration ! Je pense que je vais attendre quelques années d'études supplémentaires avant de tenter de la comprendre en entier. ::o
-
Ah oui je sais pourquoi je crois! La définition d'un transcendant sur un corps $K$ c'est avec un polynôme de $K[X]$ mais dans le cas d'un polynôme de $\Q$, si tu le multiplies par le ppcm de ses coefficients tu obtiens un polynôme dans $\Z[X]$
-
un fil interessant http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1427306,1428350Le 😄 Farceur
-
En effet merci beaucoup gebrane
-
Prenons comme définition $
\exp= \sum_{k \in \N} \frac{1}{k!}
$
Prenons deux suites :
$$
C_n = \sum_{k =0}^n \frac{1}{k!} \qquad D_n = C_n+ \frac{1}{n!}
$$
Elles vérifient l'inégalité suivante : pour tout entier $n$
$$
C_n < e < D_n
$$
Pour la partie gauche, c'est évident avec la définition. Pour la partie droite ;
$$
\sum_{k =n+1}^\infty \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{(n+1)!} \sum_{k=0}^\infty n^{-k} = \frac{1}{(n+1)!} \frac{1}{1-{1\over n}} = \frac{1}{n!} \times \frac{n}{(n-1)(n+1)} < \frac{1}{n!}
$$
En particulier, si on suppose que $\exp$ est rationnel, disons $\frac{a}{b}$. Alors pour $n=b$ :
$$
$$$$
C_b < \frac{a}{b} < D_b
$$
Et multipliant par $b!$ : on a l'inégalité entière ;
$$
b! C_b < (b-1) ! a < b! C_b+1
$$
Qui est étrange si on pense que tout le monde est entier ! -
Joli :-)
-
Je pense que c'est Euler mais je n'en suis pas certain !
-
C'est une conséquence du théorème d'Hermite-Lindemann que $\log \alpha$ est transcendant pour $\alpha$ algébrique différent de $0$ et $1$. Donc en effet $\log a - \log b$ ne peut être entier à moins que $a=b$.
-
Merci : c'est donc bien Euler.
-
L'irrationalité de $e$ est due à Euler. Elle utilisait le développement en fraction continue de $e$. La preuve proposée ci-dessus est due à Fourier.
-
Mince, c'est l'idée de Fourier et non pas Euler. Merci Joaopa
-
Une remarque qui peut sembler taquine :
Tous les nombres possèdent une écriture décimale telle qu'il existe un nombre infini de chiffres derrière la virgule.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 25
+20 Invités