Différence de logarithmes népériens
dans Arithmétique
Bonsoir à tous,
Je m'interroge sur le résultat d'une soustraction de logarithmes népériens avec des entiers naturels : $\ln(a)-\ln(b)$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*,\ a>b$. Je cherche à savoir lorsque cette différence est égale à un entier naturel. Il me semble (je n'en suis pas sûr) que $\ln(a),\ a\in \mathbb{N}^*$ est un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule (excepté pour le cas $a=1$, mais ça ne change rien vu que c'est égal à 0). Si c'est le cas, il me semble que cette soustraction ne sera donc jamais égale à un entier. Me tromperai-je ? Et si c'est le cas, que dois-je dire pour justifier que cette soustraction n'est pas égale à un nombre entier ? La justification "c'est un logarithme népérien" suffit-elle ou faut-il ajouter quelque chose ?
Je m'interroge sur le résultat d'une soustraction de logarithmes népériens avec des entiers naturels : $\ln(a)-\ln(b)$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*,\ a>b$. Je cherche à savoir lorsque cette différence est égale à un entier naturel. Il me semble (je n'en suis pas sûr) que $\ln(a),\ a\in \mathbb{N}^*$ est un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule (excepté pour le cas $a=1$, mais ça ne change rien vu que c'est égal à 0). Si c'est le cas, il me semble que cette soustraction ne sera donc jamais égale à un entier. Me tromperai-je ? Et si c'est le cas, que dois-je dire pour justifier que cette soustraction n'est pas égale à un nombre entier ? La justification "c'est un logarithme népérien" suffit-elle ou faut-il ajouter quelque chose ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je dis pas de bêtise si?
@qwerty31
Oui la transcendance de $e$ est démontrée mais ce n'est pas de la tarte! Démo
En tout cas cela résout mon problème, merci beaucoup à toi !
Je vais jeter un coup d’œil à cette démo et je mets le sujet en résolu.
\exp= \sum_{k \in \N} \frac{1}{k!}
$
Prenons deux suites :
$$
C_n = \sum_{k =0}^n \frac{1}{k!} \qquad D_n = C_n+ \frac{1}{n!}
$$
Elles vérifient l'inégalité suivante : pour tout entier $n$
$$
C_n < e < D_n
$$
Pour la partie gauche, c'est évident avec la définition. Pour la partie droite ;
$$
\sum_{k =n+1}^\infty \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{(n+1)!} \sum_{k=0}^\infty n^{-k} = \frac{1}{(n+1)!} \frac{1}{1-{1\over n}} = \frac{1}{n!} \times \frac{n}{(n-1)(n+1)} < \frac{1}{n!}
$$
En particulier, si on suppose que $\exp$ est rationnel, disons $\frac{a}{b}$. Alors pour $n=b$ :
$$
$$$$
C_b < \frac{a}{b} < D_b
$$
Et multipliant par $b!$ : on a l'inégalité entière ;
$$
b! C_b < (b-1) ! a < b! C_b+1
$$
Qui est étrange si on pense que tout le monde est entier !
Tous les nombres possèdent une écriture décimale telle qu'il existe un nombre infini de chiffres derrière la virgule.