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Différence de logarithmes népériens

Envoyé par qwerty31 
Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
Bonsoir à tous,

Je m'interroge sur le résultat d'une soustraction de logarithmes népériens avec des entiers naturels : $\ln(a)-\ln(b)$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*,\ a>b$. Je cherche à savoir lorsque cette différence est égale à un entier naturel. Il me semble (je n'en suis pas sûr) que $\ln(a),\ a\in \mathbb{N}^*$ est un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule (excepté pour le cas $a=1$, mais ça ne change rien vu que c'est égal à 0). Si c'est le cas, il me semble que cette soustraction ne sera donc jamais égale à un entier. Me tromperai-je ? Et si c'est le cas, que dois-je dire pour justifier que cette soustraction n'est pas égale à un nombre entier ? La justification "c'est un logarithme népérien" suffit-elle ou faut-il ajouter quelque chose ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
avatar
Etant donné que $ln(a)-ln(b)=ln(\frac{a}{b})$ et que $ln$ balaye tout $\R$, il y a forcément des reels $a$ et $b$ tels que $ln(a)-ln(b)=n$ pour tout $n$ même.
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
avatar
Pardon j'ai mal lu oublie ce que j'ai dit.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
avatar
Mais par contre cela revient à se demander s'il existe $a,b$ tels que $\dfrac{a}{b}=\exp(n)$, ce qui n'est pas le cas car $e$ est transcendant.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
J'ai bien précisé entiers naturels dans ma question smiling bouncing smiley c'est bien ça qui m'embête
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
Pardon que signifie $e$ transcendant ? confused smiley
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
avatar
En toute rigueur j'aurais du dire transcendant sur $\Q$. Ca veut dire qu'il n'existe pas de polynôme de $\Q [X]$ qui annule $e$
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
Dans $\Q$ ?
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
D'accord et je suppose que c'est démontré ?
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
avatar
@ModuloP

Je dis pas de bêtise si?

@qwerty31

Oui la transcendance de $e$ est démontrée mais ce n'est pas de la tarte! Démo
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
Wikipédia :
Citation
Wikipédia
Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers.
donc je ne sais pas s'il s'agit de $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$

En tout cas cela résout mon problème, merci beaucoup à toi !

Je vais jeter un coup d’œil à cette démo et je mets le sujet en résolu.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
Bah comme $a$ et $b$ sont des entiers, ça veut dire que le nombre $\exp n $ est rationnel.
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
Jolie démonstration ! Je pense que je vais attendre quelques années d'études supplémentaires avant de tenter de la comprendre en entier. eye popping smiley
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
avatar
Ah oui je sais pourquoi je crois! La définition d'un transcendant sur un corps $K$ c'est avec un polynôme de $K[X]$ mais dans le cas d'un polynôme de $\Q$, si tu le multiplies par le ppcm de ses coefficients tu obtiens un polynôme dans $\Z[X]$
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
avatar
un fil interessant [www.les-mathematiques.net]

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: différence de logarithme népérien [RÉSOLU]
il y a cinq semaines
En effet merci beaucoup gebrane
Re: différence de logarithme népérien
il y a cinq semaines
Prenons comme définition $
\exp= \sum_{k \in \N} \frac{1}{k!}
$
Prenons deux suites :
$$
C_n = \sum_{k =0}^n \frac{1}{k!} \qquad D_n = C_n+ \frac{1}{n!}
$$
Elles vérifient l'inégalité suivante : pour tout entier $n$
$$
C_n < e < D_n
$$
Pour la partie gauche, c'est évident avec la définition. Pour la partie droite ;
$$
\sum_{k =n+1}^\infty \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{(n+1)!} \sum_{k=0}^\infty n^{-k} = \frac{1}{(n+1)!} \frac{1}{1-{1\over n}} = \frac{1}{n!} \times \frac{n}{(n-1)(n+1)} < \frac{1}{n!}
$$

En particulier, si on suppose que $\exp$ est rationnel, disons $\frac{a}{b}$. Alors pour $n=b$ :
$$

$$$$
C_b < \frac{a}{b} < D_b
$$
Et multipliant par $b!$ : on a l'inégalité entière ;
$$
b! C_b < (b-1) ! a < b! C_b+1
$$
Qui est étrange si on pense que tout le monde est entier !
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
avatar
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
Je pense que c'est Euler mais je n'en suis pas certain !
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
avatar
@modulo P regarde ici
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
C'est une conséquence du théorème d'Hermite-Lindemann que $\log \alpha$ est transcendant pour $\alpha$ algébrique différent de $0$ et $1$. Donc en effet $\log a - \log b$ ne peut être entier à moins que $a=b$.
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
Merci : c'est donc bien Euler.
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
L'irrationalité de $e$ est due à Euler. Elle utilisait le développement en fraction continue de $e$. La preuve proposée ci-dessus est due à Fourier.
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
Mince, c'est l'idée de Fourier et non pas Euler. Merci Joaopa
Dom
Re: Différence de logarithmes népériens
il y a cinq semaines
Une remarque qui peut sembler taquine :
Tous les nombres possèdent une écriture décimale telle qu'il existe un nombre infini de chiffres derrière la virgule.
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