Une inégalité de grand crible simplifié
dans Arithmétique
Bonsoir.
Je suis en train de faire un exercice guidé dont le but est de prouver l'inégalité suivante.
$\displaystyle \sum_{1 \leq m \leq Q } \sum_{\substack{a \pmod m\\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1}} \bigg|\sum_{M < n \leq M+N} a_n e\big(\frac{an}{m}\big)\bigg| \leq \Delta \sum_{M< n \leq M+N} |a_n|^2$
où $Q$, $M$ et $N$ sont des entiers naturels fixés avec $N \geq 1$, $\Delta=2\pi N+Q^2$ et où $\forall z \in \C,\ e(z)=\exp(2i\pi z)$
Je dispose par ailleurs de la relation $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{\delta} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f(t)| dt+\frac{1}{2} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f'(t)|dt$ et ce pour tout $x$ réel et tout $\delta>0$ ainsi que $f$ lisse sur $[x+\delta/2,x+\delta/2]$
Puis en l'appliquant avec $x=a/m,\ m \leq Q,\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1,\ \delta=Q^{-2}$ et $f(t)=\displaystyle \Big(\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big)^2$
et en remaniant un peu, j'obtiens
$\displaystyle\bigg|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e\big(n\frac{a}{m}\big)\bigg| \leq \Delta \int_{\frac{a}{m}-Q^{-2}/2}^{\frac{a}{m}+Q^{-2}/2} \bigg|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\bigg|^2dt$
C'est la suite qui me pose problème, surtout que comme l'énoncé est en anglais et que la question 5 me semble avoir mal été tapée (il doit manquer un mot, à moins que cette impression ne me vienne que de mes lacunes en anglais).
La question qui suit me perturbe dans sa formulation et donc je préfère recopier intégralement les deux questions qui restent.
5. Observe that the intervals $(\frac{a}{m}-Q^{-2}/2, \frac{a}{m}+Q^{-2}/2)$ are pairwise disjoint for $m \leq Q$ and $a$ and $m$ coprime and
sum what was obtained in question 4 over $a$ and $m$
(la question 4 était celle qui disait d'appliquer la relation $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{\delta} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f(t)| dt+\frac{1}{2} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f'(t)|dt$ avec $x=a/m,\ m \leq Q,\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1,\ \delta=Q^{-2}$ et $f(t)=\displaystyle \Big(\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big)^2$)
6. Conclude, using the Parseval identity and the Cauchy-Schwarz inequality.
Merci de bien vouloir m'éclairer.
Je suis en train de faire un exercice guidé dont le but est de prouver l'inégalité suivante.
$\displaystyle \sum_{1 \leq m \leq Q } \sum_{\substack{a \pmod m\\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1}} \bigg|\sum_{M < n \leq M+N} a_n e\big(\frac{an}{m}\big)\bigg| \leq \Delta \sum_{M< n \leq M+N} |a_n|^2$
où $Q$, $M$ et $N$ sont des entiers naturels fixés avec $N \geq 1$, $\Delta=2\pi N+Q^2$ et où $\forall z \in \C,\ e(z)=\exp(2i\pi z)$
Je dispose par ailleurs de la relation $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{\delta} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f(t)| dt+\frac{1}{2} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f'(t)|dt$ et ce pour tout $x$ réel et tout $\delta>0$ ainsi que $f$ lisse sur $[x+\delta/2,x+\delta/2]$
Puis en l'appliquant avec $x=a/m,\ m \leq Q,\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1,\ \delta=Q^{-2}$ et $f(t)=\displaystyle \Big(\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big)^2$
et en remaniant un peu, j'obtiens
$\displaystyle\bigg|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e\big(n\frac{a}{m}\big)\bigg| \leq \Delta \int_{\frac{a}{m}-Q^{-2}/2}^{\frac{a}{m}+Q^{-2}/2} \bigg|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\bigg|^2dt$
C'est la suite qui me pose problème, surtout que comme l'énoncé est en anglais et que la question 5 me semble avoir mal été tapée (il doit manquer un mot, à moins que cette impression ne me vienne que de mes lacunes en anglais).
La question qui suit me perturbe dans sa formulation et donc je préfère recopier intégralement les deux questions qui restent.
5. Observe that the intervals $(\frac{a}{m}-Q^{-2}/2, \frac{a}{m}+Q^{-2}/2)$ are pairwise disjoint for $m \leq Q$ and $a$ and $m$ coprime and
sum what was obtained in question 4 over $a$ and $m$
(la question 4 était celle qui disait d'appliquer la relation $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{\delta} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f(t)| dt+\frac{1}{2} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f'(t)|dt$ avec $x=a/m,\ m \leq Q,\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1,\ \delta=Q^{-2}$ et $f(t)=\displaystyle \Big(\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big)^2$)
6. Conclude, using the Parseval identity and the Cauchy-Schwarz inequality.
Merci de bien vouloir m'éclairer.
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Réponses
c'est surtout que je ne vois pas comment utiliser ce résultat ...
(mais c'est là que je dois me tromper, de toute évidence et d'une façon tout à fait triviale et pourtant ça fait un bon moment que je bloque là-dessus)
Edit: ah pardon je n'avais pas vu $a$ mod $m$.
J'ai perdu de vue que a restait toujours majoré par m, parce que, moi, ce que je faisait toujours bêtement,
c'était d'écrire a/m avec a=Q-1 et m=1 afin de rendre a/m le plus grand possible
(consterné ...)
À noter : il manque les modules sur $f(x)$ dans l'inégalité (due aussi à Gallagher) de la troisième ligne.
Références.
[1] P. X. Gallagher, The large sieve, Mathematika 14 (1967), 14--20.
Afin d’obtenir la majoration de $f(\frac{a}{m})$ par $\Delta \displaystyle \int_{\frac{a}{m}-Q^{-2}/2}^{\frac{a}{m}+Q^{-2}/2} \Big|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big|^2dt$
j'avais cru que ça marchais en faisant la majoration suivante :
$\displaystyle \frac{1}{2} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f'(t)|dt=\displaystyle \frac{1}{2} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} 2\displaystyle \Big(\Big|2i \pi\sum_{1 \leq n \leq N} n a_n e(nt)\Big|\Big) \Big(\Big|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big|\Big)dt \leq 2 \pi \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} \displaystyle \Big(\Big|\sum_{1 \leq n \leq N} Na_n e(nt)\Big|\Big) \Big(\Big|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big|\Big)dt$
avant de me rendre compte que je ne peux pas majorer les $n$ par $N$ comme ça ...
Et pourtant, ça semblait marcher si bien, même si à la fin, je n'avais besoin pour conclure que de Parseval et plus du tout de Cauchy-Schwarz,
ce qui me donnait quelques soupçons ...