Une inégalité de grand crible simplifié

Bonsoir.
Je suis en train de faire un exercice guidé dont le but est de prouver l'inégalité suivante.

$\displaystyle \sum_{1 \leq m \leq Q } \sum_{\substack{a \pmod m\\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1}} \bigg|\sum_{M < n \leq M+N} a_n e\big(\frac{an}{m}\big)\bigg| \leq \Delta \sum_{M< n \leq M+N} |a_n|^2$
où $Q$, $M$ et $N$ sont des entiers naturels fixés avec $N \geq 1$, $\Delta=2\pi N+Q^2$ et où $\forall z \in \C,\ e(z)=\exp(2i\pi z)$

Je dispose par ailleurs de la relation $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{\delta} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f(t)| dt+\frac{1}{2} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f'(t)|dt$ et ce pour tout $x$ réel et tout $\delta>0$ ainsi que $f$ lisse sur $[x+\delta/2,x+\delta/2]$

Puis en l'appliquant avec $x=a/m,\ m \leq Q,\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1,\ \delta=Q^{-2}$ et $f(t)=\displaystyle \Big(\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big)^2$
et en remaniant un peu, j'obtiens
$\displaystyle\bigg|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e\big(n\frac{a}{m}\big)\bigg| \leq \Delta \int_{\frac{a}{m}-Q^{-2}/2}^{\frac{a}{m}+Q^{-2}/2} \bigg|\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\bigg|^2dt$

C'est la suite qui me pose problème, surtout que comme l'énoncé est en anglais et que la question 5 me semble avoir mal été tapée (il doit manquer un mot, à moins que cette impression ne me vienne que de mes lacunes en anglais).

La question qui suit me perturbe dans sa formulation et donc je préfère recopier intégralement les deux questions qui restent.

5. Observe that the intervals $(\frac{a}{m}-Q^{-2}/2, \frac{a}{m}+Q^{-2}/2)$ are pairwise disjoint for $m \leq Q$ and $a$ and $m$ coprime and

sum what was obtained in question 4 over $a$ and $m$

(la question 4 était celle qui disait d'appliquer la relation $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{\delta} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f(t)| dt+\frac{1}{2} \int_{x-\delta/2}^{x+\delta/2} |f'(t)|dt$ avec $x=a/m,\ m \leq Q,\ \mathrm{pgcd}(a,m)=1,\ \delta=Q^{-2}$ et $f(t)=\displaystyle \Big(\sum_{1 \leq n \leq N} a_n e(nt)\Big)^2$)

6. Conclude, using the Parseval identity and the Cauchy-Schwarz inequality.

Merci de bien vouloir m'éclairer.