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Solutions entières de $ax^3+bx^2=y^2$

Envoyé par fredrick 
Solutions entières de $ax^3+bx^2=y^2$
il y a quatre semaines
Bonjour,

J'ai trouvé une méthode pour trouver les solutions entières des équations de la forme $ax^3+bx^2=y^2$.

Par exemple je peux dire que pour l'équation $10x^3+5x^2=y^2$, toutes les solutions entières correspondent aux valeurs entières dans le polynôme $2/5(n²+4n+3)$,en affinant on peut voir que les solutions entières à l'intérieur de ce polynômes se trouvent dans les 2 polynômes suivant :
$2(5x^2-2x)$ et $2(5x^2+2x)$.

Est-ce que c'est intéressant ou est-ce que c'est déjà connu ?

Je vous remercie.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Solutions entières de $ax^3+bx^2=y^2$
il y a quatre semaines
@fredick
Que signifie ``.. solutions entières correspondent aux valeurs entières dans le polynôme untel ..'' ?

Venons en au problème posé. L'équation $y^2 = ax^3 + bx^2$ est une cubique en $(x,y)$ avec $(0,0)$ comme point singulier. Le réflexe, sans s'occuper en un premier temps d'intégralité, est de paramétrer une telle cubique par la droite affine en $t$ en posant $y = tx$, ce qui conduit à
$$
x = {t^2 -b \over a}, \qquad y = t \times {t^2 - b \over a}
$$
En un deuxième temps, il faut s'occuper d'intégralité. Par exemple, dans le cas $y^2 = 10x^3 + 5x^2$, j'obtiens :
$$
x_k = 10k^2 + 10k + 2, \qquad y_k = (10k+5) \times x, \qquad k \in \Z
$$
Je veux dire par là, que quelque soit $k \in \Z$, alors $(x_k,y_k)$ est une solution entière de $y^2 = 10x^3 + 5x^2$. Et réciproquement, toute solution entière $y^2 = 10x^3 + 5x^2$ est de cette forme.
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